อสมการครับ

[DOMO]

1) ถ้า $a^4+b^4+c^4 = 3$ และ a,b,c > 0 จงพิสูจน์ว่า $\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ac} \leqslant 1$

2)ถ้า a,b > 0 จงพิสูจน์ว่า $\frac{1(a+b)^2}{2} + \frac{1(a+b)}{4} \geqslant a\sqrt{b}+b\sqrt{a}$

[ShanaChan]

ข้อ 2 AM-GM ธรรมดา แต่ข้อ 1 นี่....
กระจายจะออกรึเปล่าหว่าาา

[DOMO]

#2

ขอวิธีทำหน่อยครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ DOMO

2) ถ้า $a,b > 0$ จงพิสูจน์ว่า $\dfrac{(a+b)^2}{2} + \dfrac{(a+b)}{4} \geq a\sqrt{b}+b\sqrt{a}$

Cauchy-Schwarz $\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq\sqrt{2(a+b)}$

AM-GM $(a+b)^2 \geq 4ab$

$\dfrac{(a+b)^2}{2} + \dfrac{(a+b)}{4} \geq 2ab+\dfrac{(a+b)}{4}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\geq 2\sqrt{\dfrac{ab(a+b)}{2}}$ AM-GM

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\sqrt{2ab(a+b)}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\geq \sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$

[DOMO]

ขอบคุณครับ

[Beatmania]

ขอลองข้อ 1 ครับ

จาก Cauchy

$a^2+b^2+c^2\leqslant \sqrt{3(a^4+b^4+c^4)} $

$a^2+b^2+c^2\leqslant 3$

และแสดงได้โดยง่ายว่า

$a^2+b^2+c^2\geqslant ab+bc+ca$

จึงทำให้

$3\geqslant ab+bc+ca$

จากการย้ายข้าง AM-HM ได้ว่า

$(4-ab+4-bc+4-ca)(\frac{1}{4-ab} +\frac{1}{4-bc} +\frac{1}{4-ca} )\geqslant 9$

$(\frac{1}{4-ab} +\frac{1}{4-bc} +\frac{1}{4-ca} )\geqslant \frac{9}{4-ab+4-bc+4-ca}$

ซึ่งทางขวามือ $\geqslant 1$นั่นเอง

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania

$(\frac{1}{4-ab} +\frac{1}{4-bc} +\frac{1}{4-ca} )\geqslant \frac{9}{4-ab+4-bc+4-ca}$

ซึ่งทางขวามือ $\geqslant 1$นั่นเอง

ทำไมทางขวา มากกว่าเท่ากับ 1 ล่ะครับ

[Beatmania]

จริงด้วยครับ

ผมไม่รู้เป็นอะไรกับพวกเศษส่วนนี้จริงๆครับ ชอบทำกลับข้างอสมการ

[Real Matrik]

ข้อ 1

พิจารณาอสมการ

$$a^4+b^4 \geq 2a^2b^2 \geq 2(2ab-1)$$
$$3-c^4 \geq 4ab-2$$
$$\frac{1}{4-ab} \leq \frac{4}{11+c^4}$$

พิจารณาอสมการ (เห็นได้ชัดจากการกระจาย)

$$\frac{4}{11+a^4}+\frac{4}{11+b^4} \leq 2$$

ดังนั้น $\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca} \leq 1$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Real Matrik

$$\frac{4}{11+a^4}+\frac{4}{11+b^4} \leq 2$$

ดังนั้น $\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca} \leq 1$

ตรงนี้ต่อไปเป็นยังไงครับ ไม่ค่อยเข้าใจ

[Real Matrik]

$$\frac{4}{11+a^4}+\frac{4}{11+b^4} \leq 2$$

จากอสมการนี้ เมื่อเราคูณให้ไม่ติดส่วนจะได้ว่า

$$44+2a^4+2b^4 \leq 121+11a^4+11b^4+a^4b^4$$
$$0 \leq 77+9a^4+9b^4+a^4b^4$$

ซึ่งจะได้ว่าอสมการเริ่มต้นเป็นจริงโดยการพิสูจน์แบบย้อนกลับ

ในทำนองเดียวกันจะได้ว่า

$$\frac{4}{11+b^4}+\frac{4}{11+c^4} \leq 2$$
$$\frac{4}{11+c^4}+\frac{4}{11+a^4} \leq 2$$

และเมื่อบวกอสมการทั้งหมดเข้าด้วยกันจะได้ว่า

$$\frac{4}{11+a^4}+\frac{4}{11+b^4}+\frac{4}{11+c^4} \leq 1$$

แต่จาก

$$\frac{1}{4-ab} \leq \frac{4}{11+c^4}$$

จะได้

$$\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca} \leq \frac{4}{11+a^4}+\frac{4}{11+b^4}+\frac{4}{11+c^4}$$

ดังนั้น $\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca} \leq 1$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Real Matrik

และเมื่อบวกอสมการทั้งหมดเข้าด้วยกันจะได้ว่า

$$\frac{4}{11+a^4}+\frac{4}{11+b^4}+\frac{4}{11+c^4} \leq 1$$

จริงๆเล้ว มันต้องเป็น $3$ นะครับ
ตอนเเรกผมก็คิดเเล้วว่าคุณคงคิดเเบบนี้ เเต่ไม่เเน่ใจอ่ะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Real Matrik

$$\frac{4}{11+a^4}+\frac{4}{11+b^4}+\frac{4}{11+c^4} \leq 1$$

มันเลย $1$ มาแล้วครับ โดย AM-HM

$$\dfrac{4}{11+a^4}+\dfrac{4}{11+b^4}+\dfrac{4}{11+c^4} \geq \dfrac{36}{33+a^4+b^4+c^4}=1$$

[จูกัดเหลียง]

จาก โจทย์ จะได้ $abc\leq 1,a+b+c\leq 3,ab+bc+ca\leq 3$
สมมติ $a^4+b^4+c^4-ab=m,a^4+b^4+c^4-bc=n,a^4+b^4+c^4-ca=p$
จะได้ว่า เราต้องการพิสูจน์ $$\frac{1}{m+1}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{p+1}\leq 1$$
$$\Leftrightarrow 2+m+n+p\leq mnp$$
$$\Leftrightarrow a^2b^2c^2+8(ab+bc+ca)\leq 3abc(a+b+c)+16$$
$$\Leftrightarrow abc(abc-3(a+b+c))+8(ab+bc+ca-2)\leq 0$$
ซึ่งเป็นจริงจาก $abc\leq 1,a+b+c\leq 3,ab+bc+ca\leq 3$

ปล. ช่วยกันเช็คหน่อยนะครับ

[Amankris]

#14
บรรทัดสุดท้าย จริงอย่างไรครับ