มาทำโจทย์กันเถอะ

[Metamorphosis]

โจทย์สำหรับคนที่เตรียมตัวเข้าโอลิมปิก สอวน ครับ

1. Find all pairs of integers (x,y) such that
$x^3+y^3 = (x+y)^2$

2. Find all pairs of integers for which $mn \geqslant 0$
$m^3+n^3+99mn = 33^3$

3. $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^x + (\sqrt{3}+\sqrt{2})^x =(\sqrt{5})^x$

4. Solve the following system in real numbers:
$a^2+b^2 = 2c$
$1+a^2 = 2ac$
$c^2=ab$

5. Solve the following system in real numbers:
$ab=\dfrac{c^2}{1+c^2}$
$bc=\dfrac{a^2}{1+a^2}$
$ca=\dfrac{b^2}{1+b^2}$

6.Solve the equation
$$2(2^x-1)x^2+((2^x)^2-2)x = 2^{x+1}-2$$

7. Find all complex numbers $z$ such that
$(3z+1)(4z+1)(6z+1)(12z+1)= 2$

8. กำหนด $x_1,x_2,x_3,...,x_{100}$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่งทำให้ $x_1+\frac{1}{x_2}=1$ , $x_2+\frac{1}{x_3}=4$ , $x_3+\frac{1}{x_4}=1$ ,..., $x_{99}+\frac{1}{x_{100}}=1$ และ $x_{100}+\frac{1}{x_1}=4$ แล้ว $x_1+x_2+x_3+...+x_{100}$ มีค่าเท่าใด (น่าจะเ้คยเห็นใน พีชคณิตคิดเพื่อชาติมาแล้ว)

9. ถ้าสามารถเขียน $\sqrt{2011}$ ในรูปของ $$a+\frac{b}{c+\frac{b}{c+\frac{b}{c+\frac{b}{c+\frac{b}{...}}}}}$$
โดยที่ $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้าต้องการให้ $a$ มีค่ามากที่สุดและ $\frac{c}{a}=2$ แล้ว $a+b+c$ มีค่าเท่าใด (เอามาจากในบอร์ดนี้แหละ)

10.จงหาผลคูณ $\frac{3}{4}\times \frac{8}{9}\times \frac{15}{16}\times ... \times \frac{9999}{10000}$ (Tugmos)

11.จงหาคำตอบของระบบสมการ
$xy = z-x-y , yz=x-y-z , zx=y-z-x$

12.เป็นโจทย์ยอดฮิตอีกข้อ
กำหนด x,y,z เป็น positive real numbers ซึ่งเป็นคำตอบของระบบสมการ $x^2+xy+y^2 = 57 , y^2+yz+z^2 =84,z^2+zx+x^2 = 111$
$xy+2yz+3zx = ?$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ No.Name

เอามาฝากครับ (หนังสือจาก คุณ banker เลย)

1.) ถ้า $\cos A+\cos B+\cos C=0$ แล้ว จงหาค่าของ $\ \dfrac{ \cos 3A+\cos 3B+\cos 3C}{\cos A\cos B\cos C}$

2.) $x^{50}+x^{30}+1$ หารด้วย $(x-1)^4$ เหลือเศษเท่าใด

3.) สำหรับทุกจำนวนเต็ม $m>1$ แล้ว จงแสดงว่า $(m-1)^2$ หาร $m^{m-1}-1$ ลงตัว

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis

โจทย์สำหรับคนที่เตรียมตัวเข้าโอลิมปิก สอวน ครับ

ไม่ได้เตรียมตัวเข้าโอลิมปิก สอวน แต่ทำเอามันส์ ได้ไหม

[Mr.ธรรมดา]

ถ้าแปลให้หน่อยจะดีมากครับอ่านโจทย์แล้วงงๆ

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

ไม่ได้เตรียมตัวเข้าโอลิมปิก สอวน แต่ทำเอามันส์ ได้ไหม

เชิญได้เลยครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mr.ธรรมดา

ถ้าแปลให้หน่อยจะดีมากครับอ่านโจทย์แล้วงงๆ

ทั้งหมดเป็นศัพท์พื้นฐานที่ควรรู้นะครับ

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis

10.จงหาผลคูณ $\frac{3}{4}\times \frac{8}{9}\times \frac{15}{16}\times ... \times \frac{9999}{10000}$ (Tugmos)

$\displaystyle \frac{3}{4}\times \frac{8}{9}\times \frac{15}{16}\times ... \times \frac{9999}{10000}= \dfrac{ 1 \times 2 \times 3^2 \times 4^2\times ... \times 99^2 \times 100 \times 101}{2^2 \times 3^2 \times 4^2 ... \times 100^2}$

$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{101}{200}$

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis

4. Solve the following system in real numbers:
$a^2+b^2 = 2c$-----------(1)
$1+a^2 = 2ac$-----------(2)
$c^2=ab$------------------(3)

จากสมการ (2) ได้ $ \ \dfrac{1+a^2}{2a}=c$ แล้วนำไปแทนค่าใน (3)

$c^2=ab $ จะได้เป็น $b=\dfrac{1+2a^2+a^4}{4a^3}$ หลังจากนั้นนำไปแทนค่าใน (1)

$a^2+\left(\,\dfrac{1+2a^2+a^4}{4a^3}\right)^2=\ \dfrac{1+a^2}{a}$

$17a^8-16a^7+4a^6-16a^5+6a^4+4a^2+1=0$

แทน $a=1$ ลงไปในสมการได้ เท่ากับ 0 เพราะฉะนั้น $a-1$ เป็นตัวประกอบแน่นอน

$\left(\,a-1\right) \left(\,17a^7+a^6+5a^5-11a^4-5a^3-5a^2-a-1\right)=0$

แทนค่า 1 ไปอีกรอบ

$\left(\,a-1\right)^2\left(\,17a^6+18a^5+23a^4+12a^3+7a^2+2a+1\right) =0$

จะได้ค่า $a=1$ เท่านั้น จะได้ $\ c=1$ และ ได้ $b=1$

$(a,b,c)=(1,1,1)$

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis

7. Find all complex numbers $z$ such that
$(3z+1)(4z+1)(6z+1)(12z+1)= 2$

$(3z+1)(4z+1)(6z+1)(12z+1)= 2$

$(12z+4)(12z+3)(12z+2)(12z+1)=48$

ให้ $a=12z$ แทนค่าลงไปในสมการก็จะได้

$(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)=48$

$(a^2+5a+4)(a^2+5a+6)=48$

ให้ $A=a^2+5a$ แทนลงไปได้

$(A+4)(A+6)=48$

$(A-2)(A+12)=0$

$A=2,-12$

จากโจทย์ จะได้ $A $เป็นจำนวนเชิงซ้อนเพราะฉะนั้น $2$ เป็นไปไม่ได้ใช้ได้แค่ $-12$

$a^2+5a+12=0$

$a= \ \dfrac{-5 \pm \sqrt{23}i}{2}$

แทนค่า $z$ลงไปใน $a$ จะได้ $12z=\ \dfrac{-5 \pm \sqrt{23}i}{2}$

$z=\dfrac{-5 \pm \sqrt{23}i}{24}$

[กิตติ]

คุณNo Name....ขยันจังครับ
ข้อแรก....ลักไก่ได้ไหมว่า
$3xy(x+y)=0$ เพราะจาก
$(x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)$
เนื่องจาก $x,y$ เป็นจำนวนเต็ม....
$x=0$ หรือ $y=0$ หรือ $x=-y$
มันมีคำตอบเป็นอนันต์เลยหรือเปล่าครับ

[No.Name]

รอคนมาแจม เป็นเพื่อนครับ

ข้อ 2 คุณหมอกิตติ ได้กี่คำตอบหรอครับผมเยอะแยะเลย

$(m,n)=(-33,-33),(1,32),(2,31),...(32,1)$

[กิตติ]

เรียกชื่อเฉยๆก็ได้ครับ ในบอร์ดนี้เป็นพี่เป็นน้องเป็นเพื่อน เป็นหลานเป็นเหลนกันทั้งนั้น
อาชีพเอาไว้นอกบอร์ดครับ ที่แน่ๆพวกเรารักคณิตศาสตร์เหมือนกัน ผมถอดหัวโขนครับเวลาเข้าบอร์ด
ข้อ7...วิธีคิดสวยดีครับ อุตสาห์นั่งพิมพ์ให้น้องๆหลานๆได้เรียนกัน ใช้เวลานานอยู่เหมือนกัน
ข้อ2 เดี๋ยวขอคิดก่อนครับ

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ No.Name

$\displaystyle \frac{3}{4}\times \frac{8}{9}\times \frac{15}{16}\times ... \times \frac{9999}{10000}= \dfrac{ 1 \times 2 \times 3^2 \times 4^2\times ... \times 99^2 \times 100 \times 101}{2^2 \times 3^2 \times 4^2 ... \times 100^2}$

$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{101}{200}$

ผมว่ามันแปลกๆอยู่นะ...ขาดอะไรไปรึเปล่าครับ

[กิตติ]

10.จงหาผลคูณ $\frac{3}{4}\times \frac{8}{9}\times \frac{15}{16}\times ... \times \frac{9999}{10000}$ (Tugmos)

$=\frac{2^2-1}{2^2}\times \frac{3^2-1}{3^2}\times \frac{4^2-1}{4^2}\times ... \times \frac{100^2-1}{100^2}$

$=\frac{(2+1)(2-1)}{2^2}\times \frac{(3-1)(3+1)}{3^2}\times \frac{(4-1)(4+1)}{4^2}\times ... \frac{(99-1)(99+1)}{99^2} \times \frac{(100-1)(100+1)}{100^2}$

$=\frac{1}{2} \times \frac{101}{100}$

$=\frac{101}{200} $

น่าจะใช่แล้วครับ

คุณNoNameครับ...ข้อ2 ผมยังจัดรูปไม่ออกเลย คงจะคิดนานหน่อย

[poper]

อ้อ...ขอบคุณครับ ผมคิดผิดเอง

[กิตติ]

2. Find all pairs of integers for which $mn \geqslant 0$
$m^3+n^3+99mn = 33^3$

$m^3+n^3+99mn -33^3 =0$
$(m+n)^3-33^3-3mn(m+n)+99mn=0$
$(m+n-33)\left\{\,(m+n)^2+33(m+n)+33^2\right\}-3mn\left\{\,(m+n )-33\right\} =0$
$(m+n-33)\left\{\,(m+n)^2+33(m+n)+33^2-3mn\right\}=0$
แยกได้เท่านี้เดี๋ยวขอทดในกระดาษอีกที
$(m+n)^2+33(m+n)+33^2-3mn$
$=m^2+n^2+33m+33n+33^2-mn$
$=(m^2-2mn+n^2)+mn+33m+33n+33^2$
$=(m-n)^2+(m+33)(n+33)$
$=((m+33)-(n+33))^2+(m+33)(n+33)$
ให้$a=m+33,b=n+33$
$(a-b)^2+ab$
$=a^2+b^2-ab$
$=2(\frac{a}{2} -\frac{b}{2} )^2+\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}=0 $
สมการนี้เป็นจริงเมื่อ $a=0$ และ $b=0$ และ $a=b$
จะได้ว่า$m=n=-33$
กับ$m+n-33=0\rightarrow m+n=33$ โดยที่$m,n$ เป็นจำนวนเต็มบวกและศูนย์ $mn \geqslant 0$

คำตอบที่ได้เท่ากับที่คุณNoNameคิดไว้ครับ เพิ่มอีกสองคำตอบคือ $(m,n)=(0,33),(33,0)$

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis

9. ถ้าสามารถเขียน $\sqrt{2011}$ ในรูปของ $$a+\frac{b}{c+\frac{b}{c+\frac{b}{c+\frac{b}{c+\frac{b}{...}}}}}$$
โดยที่ $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้าต้องการให้ $a$ มีค่ามากที่สุดและ $\frac{c}{a}=2$ แล้ว $a+b+c$ มีค่าเท่าใด (เอามาจากในบอร์ดนี้แหละ)

จริงข้อนี้ต้องเพิ่มว่า ถ้าต้องการให้ $a$ มีค่ามากที่สุดเท่าที่จะมากได้ ....นะครับ