ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 6: Sum of Arctangents

[warut]

จงหาค่าของ\[\sum_{k=1}^\infty\tan^{-1}\frac{1}{2k^2}\]ป.ล. เดิมข้อนี้จะให้เป็นเกม แต่ดูแนวโน้มว่าโจทย์กำลังจะถูกจัดการหมดแล้ว เลยรีบมาโพสต์ข้อใหม่ไว้ให้ก่อนครับ

[M@gpie]

จาก \( \arctan x - \arctan y = \arctan \frac{x-y}{1+xy} \; ; \; xy>-1 \)
พิจารณา \( \arctan \frac{1}{2k^2} = \arctan \frac{(2k+1)-(2k-1)}{1+(4k^2-1)} = \arctan (2k+1) - \arctan (2k-1)\)
ดังนั้นจะได้ว่า \( \displaystyle{\sum_{k=1}^n } (\arctan (2k+1) - \arctan (2k-1)) = \arctan(2n+1) - \arctan(1) \)
นั่นคือ \( \displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} } (\arctan (2k+1) - \arctan (2k-1)) = \lim_{n \rightarrow \infty} (\arctan(2n+1) - \arctan(1)) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} \)

ปล. : แก้ไขสูตรแล้วนะคร้าบ

[Punk]

เยี่ยมไปเลยครับน้อง M@gpie สำหรับผมที่ห่างเหินจากเลข ม ปลายไปนาน จนลืมวิธีนี้ไปเลยครับ

วิธีผมมาจากความรู้เรื่อง Infinite product ของ complex functions ครับ ใช้เอกลักษณ์
$$
\frac{\sin\pi z}{\pi z}=\prod_n\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)
$$
เมื่อแทน $z=(1-i)/2$ จะได้เทอมขวามือเท่ากับ
$$
\prod_n\left(1+\frac{i}{2n^2}\right)
$$
ซึ่งมีอารกิวเมนท์เท่ากับ อนุกรมที่ต้องการคำนวณครับ ดังนั้นคำตอบจึงได้จากการหาอาร์กิวเมนท์ของเทอมซ้ายมือ เมื่อ $z=(1-i)/2$ (ได้เทอมซ้ายมือเท่ากับ $(\sqrt{2}/\pi^2)(e^{\pi/2}+e^{-\pi/2})e^{i\pi/4})$)

ปล. เอกลักษณ์ดังกล่าวหาอ่านได้จากหนังสือของ J.B. Conway, "Function of one Complex Variable", Springer-Verlag pp175 ครับผม

[warut]

เสร็จไปอีกข้ออย่างรวดเร็ว

ครับคุณ M@gpie ก็รับไป 5 คะแนนเต็มปรี่สำหรับข้อนี้ นำโด่งไปเลย แต่ว่าอย่าลืมใส่ \ หน้า arctan ด้วยนะครับ แล้วก็ขอถามคุณ M@gpie นิดนึงว่าเคยทำโจทย์ข้อนี้มาก่อนหรือเปล่า ส่วนใหญ่ที่เล่นกันผมเคยเห็นแต่ถามถึง\[\sum_{k=1}^\infty\tan^{-1}\frac{2}{k^2}=\frac{3 \pi}{4}\]ก็เลยเอาอันนี้มาถาม

ส่วนความเห็นของคุณ Punk อันนั้นก็มีประโยชน์มาก เพราะมันเป็นวิธีมาตรฐานที่ใช้จัดการโจทย์แบบนี้ได้หมด ไม่ใช่เฉพาะอันที่สามารถแปลงเป็น telescoping series ได้ ผมก็เพิ่งรู้เทคนิคนี้มาไม่นานจาก H. Wilf ครับ ดังนั้นผมขอมอบ 1 คะแนนให้คุณ Punk สำหรับ comment อันนี้นะครับ

[M@gpie]

ผมก็เคยทำข้อที่คุณ warut ยกมานั่นแหละครับ
แต่เห็นว่าน่าจะไอเดีย เดียวกัน เพียงแต่ต้องควานหา ตัวที่จะทำให้ตัดกันได้นานพอดูทีเดียว ครับ

[warut]

ขอถามต่ออีก 2 ข้อข้อละ 2 คะแนนครับ

1. จงหาค่าของ\[\sum_{k=1}^\infty\tan^{-1}\frac{1}{k^2+k+1}\]แสดงวิธีทำสั้นๆด้วยนะครับ

2. ลองค้นมาหรือจะคำนวณเองก็ได้ (เช่นตามวิธีของคุณ Punk) ว่าค่าที่แท้จริงของ\[\sum_{k=2}^\infty\tan^{-1}\frac{1}{k^2}\]คืออะไร

ป.ล. เพิ่งเห็นว่าสูตรในบรรทัดแรกของคุณ M@gpie ผิดนิดหน่อย ช่วยแก้ให้ด้วยนะครับ

[nongtum]

ข้อความเดิมของคุณ warut:
1. จงหาค่าของ\[\sum_{k=1}^\infty\tan^{-1}\frac{1}{k^2+k+1}\]

$$\sum_{k=1}^\infty\arctan{\frac{1}{k^2+k+1}}
=\sum_{k=1}^\infty(\arctan{(k+1)}-\arctan{k})
=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}$$

[gools]

ข้อ 2 วิธีเดียวกับพี่ M@gpie ครับ

จาก $\tan\frac{\pi}{8}=\frac{1-\cos\frac{\pi}{4}}{\sin\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}-1$
\[\begin{array}{rcl}\sum_{k=2}^\infty\tan^{-1}\frac{1}{k^2}=\sum_{k=1}^\infty\tan^{-1}\frac{(\sqrt{2}k+1)-(\sqrt{2}k-1)}{(1+(2k^2-1))}-\tan^{-1}1&=&\sum_{k=1}^\infty(\tan^{-1}( \sqrt{2}k+1)- \tan^{-1}(\sqrt{2}k-1))-\frac{\pi}{4} \\
&=&\lim _{n \rightarrow \infty} (\tan^{-1}(\sqrt{2}n+1) - \tan^{-1}(\sqrt{2}-1))-\frac{\pi}{4} \\
&=&\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{8} \\
\end{array}\]

แก้บ่อยมากครับ คือ Preview ได้แต่พอโพสแล้วมีปัญหาครับ คือตัวอักษรระหว่างคำสั่ง Latex มันแยกออกจากกัน

[warut]

วิธีทำข้อ 2 ของน้อง gools ยังไม่ถูกต้องนะครับ จะเห็นว่าพจน์ทั้งหมดไม่อาจตัดกันได้เลย

ส่วนข้อ 1 ที่คุณ nongtum ตอบนั่นถูกแล้วล่ะครับ ก็รับไปอีก 2 คะแนน

[nongtum]

ข้อ 2. (พิเศษ) โดยสมการ (3.8) หน้า 6 จาก paper นี้ จะได้ $$\sum_{k=2}^\infty\tan^{-1}\frac{1}{k^2}=-\tan^{-1}\frac{\tanh{(\pi/\sqrt2)}}{\tan{(\pi/\sqrt2})}$$

[warut]

คุณ nongtum หาข้อมูลในเน็ตได้เก่งและเร็วจริงๆครับ บทความอันนั้นก็น่าสนใจมากๆด้วย รับไปอีก 2 คะแนนครับ

[TOP]

ข้อความเดิมของคุณ gools:
แก้บ่อยมากครับ คือ Preview ได้แต่พอโพสแล้วมีปัญหาครับ คือตัวอักษรระหว่างคำสั่ง Latex มันแยกออกจากกัน

เว็บบอร์ดที่นี่มีระบบช่วยตัดคำ ด้วยการเว้นวรรคให้หากพบว่า มีข้อความติดกันที่ยาวเกินกว่า สัก 30 ตัวอักษรได้มั้งครับ ที่ต้องทำเช่นนี้เพื่อช่วย browser ทั้งหลายที่ตัดคำไม่เก่งนัก ให้มีโอกาสจัดข้อความขึ้นบรรทัดใหม่ได้บ้าง (ในกรณีที่มีข้อความติดกันยาวมากๆในหนึ่งบรรทัด) ไม่เช่นนั้นแล้ว ข้อความติดกันจะยาวทะลักไปด้านขวามาก เวลาอ่านก็ต้องมากด scroll bar ซ้ายๆขวาๆ อ่านลำบาก และไม่สวยงามเท่าไร

หากทุกคนสังเกตทุกข้อความที่ผมตอบจะพบว่า ชอบเว้นวรรคครับ บางทีมันยังไม่จบประโยคดี ก็เว้นวรรคเป็นระยะๆตามสมควร เพื่อช่วยให้เว็บบอร์ดไม่ตัดคำไปโดนตำแหน่งที่เราไม่ต้องการ (หากมันผ่าไปลงตำแหน่งของ UBB Code หรือ LaTeX ก็ทำให้แสดงผลผิดพลาดขึ้นมา)

ยกตัวอย่างเช่น คำสั่ง LaTeX ที่ติดกันยาวๆ

\tan\frac{\pi}{8}=\frac{1-\cos\frac{\pi}{4}}{\sin\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}-1

ช่วยเว้นวรรคให้มันหน่อยเป็น

\tan \frac{\pi}{8} = \frac{1 - \cos \frac{\pi}{4}}{\sin \frac{\pi}{4}} = \sqrt{2} - 1

ก็จะไม่โดนเว็บบอร์ดตัดคำ (เว้นวรรค) และช่วยให้อ่านง่ายขึ้นด้วย

ตัวคำสั่ง LaTeX เอง หากเป็นไปได้ พยายามหลีกเลี่ยง การขึ้นบรรทัดใหม่โดยไม่จำเป็น เพราะเว็บบอร์ดจะแปลง บรรทัดใหม่เหล่านั้นเป็น <br> ในกรณีที่เบิ้ลสองครั้งติดกัน มันจะกลายเป็น <p> และคำสั่ง HTML เหล่านี้ในบางครั้งจะส่งผลให้ jsMath ทำงานผิดพลาด กลายเป็น Bug ให้เห็นเป็นระยะๆ

ตัวอย่าง Bug ที่ยังเหลืออยู่เช่น ที่หัวข้อ square root and serie ความเห็นที่ 3 ของคุณ warut ใต้บรรทัดที่เขียนว่า "ให้" หากดูใน IE จะไม่พบปัญหาใดๆ แต่หากดูด้วย Firefox มันจะแจ้งว่า "Unknown control sequence \quadn" ทั้งนี้เป็นเพราะคุณ warut ไปเว้นบรรทัดใหม่หลังคำสั่ง \quad ในคำสั่ง LaTeX ที่เขียนว่า \quad=4,5,6,\dots

ผมไม่ได้ห้ามการขึ้นบรรทัดใหม่ใน LaTeX นะครับ บางคำสั่งเช่น array , case , matrix , ... ผมก็ขึ้นบรรทัดใหม่เช่นกัน จะช่วยให้อ่านคำสั่ง LaTeX ง่ายกว่าพิมพ์ทั้งหมดในหนึ่งบรรทัด ในอนาคตปัญหาเหล่านี้คงน้อยลง เพราะผู้เขียนก็รับทราบปัญหาเหล่านี้เช่นกัน และพยายามแก้ Bug ในเวอร์ชันถัดไป

อีกเรื่องหนึ่งของคำสั่ง LaTeX คือ บางครั้งสมการมันยาวสุดๆ (หมายถึงสมการที่มีเครื่องหมาย "=" เยอะมาก) และ jsMath ก็ไม่มีสิทธิ์ไปตัดสมการนั้น มาขึ้นเป็นบรรทัดใหม่ให้ เพราะจะทำให้สมการแสดงไม่ตรงตามรูปแบบที่เขียนไป เมื่อมันแสดงผลออกมาจึงทะลักไปทางด้านขวาสุดๆเช่นกัน เวลาอ่านจึงต้องมากด scroll bar ซ้ายๆขวาๆ อ่านลำบากครับ หากเป็นไปได้ อยากให้นำมาขึ้นเป็นสมการใหม่ เป็นช่วงๆครับ อันนี้ไม่ได้บังคับนะครับ คุณแม่ไม่ได้ขอร้อง

ป.ล. Firefox แสดงผล LaTeX ได้เร็วกว่า IE มากๆๆๆ จะมีปัญหาก็เพียงแต่มองสัญลักษณ์ UBB Code ส่วนใหญ่ไม่ออก (เอ่อ มันคงไม่ใช่ปัญหาเล็กๆหรอก ) คงเป็นทางเลือกหนึ่งสำหรับเครื่องที่แสดงผล LaTeX ช้านะครับ

[warut]

ครับผม ต่อไปนี้จะเว้นวรรคให้บ่อยขึ้นและขึ้นบรรทัดใหม่ใน LaTeX อย่างเหมาะสมครับ ส่วนในกระทู้นั้นผมก็ตามไปแก้แล้วล่ะ ถ้ามีโอกาสผมก็ว่าจะลง Firefox อยู่เหมือนกันครับ