ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 9: sin/cos = tan

[warut]

จงพิสูจน์ว่า\[\frac{\sin x+\sin2x+\dots+\sin nx}{\cos x+\cos2x+\dots+\cos nx}=
\tan\frac{n+1}{2}x\]เมื่อ \(x\) เป็นจำนวนจริง \(n\) เป็นจำนวนเต็มบวก และ \(\cos x+\cos2x+\dots+\cos nx\ne0\)

[Mastermander]

\[\frac{\sin x+\sin2x+\dots+\sin nx}{\cos x+\cos2x+\dots+\cos nx}=
\tan\frac{n+1}{2}x\]

นำ \( 2\sin\frac{x}{2} \)คูณทั้งบนและล่างจะได้ว่า
\[\frac{2\sin\frac{x}{2}\sin x+2\sin\frac{x}{2}\sin2x+\dots+2\sin\frac{x}{2}\sin nx}{2\sin\frac{x}{2}\cos x+2\sin\frac{x}{2}\cos2x+\dots+2\sin\frac{x}{2}\cos nx}=
\tan\frac{n+1}{2}x\]

\[= \frac{(\cos\frac{x}{2}-\cos\frac{3x}{2})+(\cos\frac{3x}{2}-\cos\frac{5x}{2})+\dots+(\cos (n-\frac{1}{2})x-\cos(n+\frac{1}{2})x)}{(\sin\frac{3x}{2}-\sin\frac{x}{2})+(\sin\frac{5x}{2}-\sin\frac{3x}{2})+\dots+(\sin (n+\frac{1}{2})x-\sin (n-\frac{1}{2})x)} \]

\[=\frac{\cos\frac{x}{2} - \cos (n+\frac{1}{2})x}{\sin (n+\frac{1}{2})x - \sin\frac{x}{2}} \]

\[=\frac{-2\sin(\frac{n+1}{2})x \sin(\frac{-n}{2})x}{2\cos(\frac{n+1}{2})x \sin(\frac{n}{2})x} \]

\[=\frac{\sin(\frac{n+1}{2})x}{\cos(\frac{n+1}{2})x} \]
\[ = \tan(\frac{n+1}{2})x \]

แก้ไขครั้งที่3 - 13:59
แก้ไขครั้งที่4 - หวังว่าคงไม่มีครั้งที่ 5

[warut]

หลังจากพลาดไปหลายครั้ง ในที่สุดน้อง Mastermander ก็มาได้ข้อนี้ ข้อพิมพ์เยอะซะด้วย แต่ก็ทำได้สมบูรณ์แบบครับทั้งคณิตศาสตร์และ LaTeX เยี่ยมจริงๆ รับไป 5 คะแนนเต็มครับ

ผมเอาโจทย์ข้อนี้มาถามเพราะครั้งหนึ่งเคยมีคนเอามาใช้ แล้วคุณ nongtum ก็ถามถึงที่มาของสูตร แต่ไม่มีใครมาตอบ ผมก็เลยเอามาทำเป็นปัญหาชิงรางวัลซะเลย กรณีพิเศษของสูตรนี้เคยเอาไปออกเป็นโจทย์ข้อ 16 ของข้อสอบเพชรยอดมงกุฎ ม.ปลาย ปี 48 รอบชิงชนะเลิศ แต่อันนั้นสามารถแก้ได้โดยวิธีง่ายๆแบบที่คุณ passer-by ทำครับ

[nooonuii]

Alternative Solution :

Let \( z = e^{i\theta}\). Then

\( \displaystyle{ (\cos{\theta} + \cdots + \cos{ n\theta}) + i (\sin{\theta + \cdots + \sin{n\theta}}) }\)

\( \displaystyle{ = z + \cdots + z^n }\)

\( \displaystyle{ = z \cdot \frac{z^n - 1}{z - 1}} \)

\( \displaystyle{ = \frac{z\cdot z^{\frac{n}{2}}(z^{\frac{n}{2}} - z^{- \frac{n}{2}})}{z^{\frac{1}{2}}(z^{\frac{1}{2}} - z^{- \frac{1}{2}})} }\)

\( \displaystyle{ = z^{\frac{n+1}{2}}(\frac{\sin{\frac{n\theta}{2}}}{\sin{\frac{\theta}{2}}}) }\)

\( \displaystyle{ = \frac{\cos{\frac{(n+1)\theta}{2}} \sin{ \frac{n\theta}{2} }}{\sin{ \frac{\theta}{2} }} + i \frac{\sin{\frac{(n+1)\theta}{2}} \sin{ \frac{n\theta}{2} }}{\sin{ \frac{\theta}{2} }} } \)

Comparing real and imaginary parts, we get

\[ \displaystyle{ \frac{\sin{\theta} + \cdots + \sin{ n\theta}}{\cos{\theta + \cdots + \cos{n\theta}}} = \frac{\frac{\sin{\frac{(n+1)\theta}{2}} \sin{ \frac{n\theta}{2} }}{\sin{ \frac{\theta}{2} }}}{\frac{\cos{\frac{(n+1)\theta}{2}} \sin{ \frac{n\theta}{2} }}{\sin{ \frac{\theta}{2} }}} = \tan{\frac{(n+1)\theta}{2}} } \]

[warut]

ใช่แล้วครับ...วิธีของคุณ nooonuii ก็เป็นเทคนิคมาตรฐานอีกอันหนึ่งที่สามารถนำมาใช้จัดการกับโจทย์แบบนี้ แต่ว่าคุณ nooonuii มาตอบช้าและใช้อาวุธหนัก ผมเลยขอให้แค่ 3 คะแนน คงไม่ว่ากันนะครับ

[nooonuii]

ขอบคุณครับ จริงๆก็ไม่ได้หวังคะแนนหรอกครับ แค่อยากร่วมสนุกน่ะ เดี๋ยวเปิดเทอมก็อาจจะไม่ได้เข้ามาบ่อยมากนัก ช่วงนี้ว่างๆก็เลยมานั่งคิดโจทย์เล่นซะหน่อย