minimum eigenvalue & concavity

[sompong2479]

มาอีกแล้วครับ ช่วงนี้คำถามเยอะครับเอามาจากงานที่ทำอยู่เช่นเคยครับ

ให้ $U$ เป็น symmetric matrix ขนาด $n\times n$ ดังนั้น $U$ จะมี eigenvalues
$$
\lambda_1\leq\lambda_2\leq\cdots\leq\lambda_n
$$
จงแสดงว่า $\lambda_1$ เป็น concave ฟังก์ชันของเมตริกซ์ $U$

[passer-by]

See [1] and [2]

Note :
[1] เน้นที่หน้า 20-21
[2] แถวๆ theorem 2 ถึง lemma 4 ครับ

ยังยืนยันคำเดิม ว่า ทำไมมันโหดจังครับ
(แต่ก็ได้ความรู้ใหม่ เพิ่มมา 1 อย่าง)

[sompong2479]

ขอบคุณครับคุณ passer-by แต่ผมลองอ่านดูแล้วมันยังงงๆอยู่เลยอะครับ
ยังไงจะพยายามต่อไปครับ

[Punk]

$\lambda_1=\min_{|v|=1}(Uv)\cdot v$, $v\in\mathbb{R}^n$, this implies $\lambda_1$ is concave in $U$.

[passer-by]

แนวคิด พี่ Punk แจ่มมาก เลยครับ

งั้นผมขอขยายความต่อนิดนึงนะ

ทุก unit vector v
$ (Uv)\cdot v \geq \lambda_{1}(U) $
Similarly $ (Pv)\cdot v \geq \lambda_{1}(P) $

ดังนั้น $ (Uv+Pv)\cdot v \geq \lambda_{1}(U) + \lambda_{1}(P) $

หรือ $ ((U+P)v)\cdot v \geq \lambda_{1}(U) + \lambda_{1}(P) $ ทุก unit vector v

ทำให้ $ \lambda_{1}(U+P) \geq \lambda_{1}(U) + \lambda_{1}(P) $

และเพราะ $ \lambda_{1}(U) $ เป็น homogeneous function degree 1

ดังนั้น พิสูจน์ได้ไม่ยากว่า $ \lambda_{1}(U) $ concave (จากนิยาม แบบ formal ของมัน)

[sompong2479]

ขอบคุณมากครับ