โจทย์ทฤษฎีสมการ

[kanji]

จงแสดงว่ารากของสมการ

$\frac{\alpha}{x-a}+\frac{\beta}{x-b}+\frac{\gamma}{x-c}+1=0$

เป็นรากจริงทั้งหมด เมื่อ $a,b,c$เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกันทั้งหมด

และ$\alpha,\beta,\gamma$เป็นจำนวนจริงบวก

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ kanji:
จงแสดงว่ารากของสมการ

$\frac{\alpha}{x-a}+\frac{\beta}{x-b}+\frac{\gamma}{x-c}+1=0$

เป็นรากจริงทั้งหมด เมื่อ $a,b,c$เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกันทั้งหมด

และ$\alpha,\beta,\gamma$เป็นจำนวนจริงบวก

WLOG, assume $a< b < c$.
Let \( \displaystyle{ P(x) = \alpha (x-b)(x-c)+\beta (x-a)(x-c)+\gamma (x-a)(x-b) + (x-a)(x-b)(x-c)}. \ \) Then we have
$P(a) > 0, P(b) < 0, P(c) > 0$. Thus P(x) has at least two real roots by the Intermediate Value Theorem. But P(x) is a polynomial of degree 3 with real coefficients, it must have exactly 3 real roots.

[kanji]

จงแสดงว่าสมการ

$(x-2)(x-5)(x-7)(x-9)+\lambda(x-3)(x-6)(x-8)(x-10)=0$

มีรากทุกรากเป็นรากเชิงเดียวสำหรับทุกค่าจริง $\lambda$ แล้วหาตำแหน่งของรากต่าง ๆ

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ kanji:
จงแสดงว่าสมการ

$(x-2)(x-5)(x-7)(x-9)+\lambda(x-3)(x-6)(x-8)(x-10)=0$

มีรากทุกรากเป็นรากเชิงเดียวสำหรับทุกค่าจริง $\lambda$ แล้วหาตำแหน่งของรากต่าง ๆ

Let $P(x) = (x-2)(x-5)(x-7)(x-9)+\lambda(x-3)(x-6)(x-8)(x-10)$
case 1 : $\lambda = 0$ Clear.
case 2 : $\lambda > 0$. Then we get

$P(2) = 192 \lambda$,
$P(3) = -48$,
$P(5) = -30 \lambda$,
$P(6) = 12$,
$P(7) = 12 \lambda$,
$P(8) = -18$,
$P(9) = -18 \lambda$,
$P(10) = 120$.

Thus P(x) has four simple roots in the open intervals (2,3), (5,6), (7,8), and (9,10).

case 3 : $\lambda < 0$. I cannot solve this case completely but at least I can show that P(x) has four real roots and the positions of the three roots are in the intervals (3,5),(6,7), and (8,9). It seems that the position of the fourth root depends on the value of $\lambda$. For example, if $\lambda = -1$ then we have three simple roots in the intervals (3,5),(6,7), and (8,9).

[M@gpie]

เอ่อ รากเชิงเดียวนี่หมายถึง เป็นจำนวนจริงเท่านั้นรึเปล่าครับ ไม่เป็น Complex Conjugate

การวิเคราะห์รากของสมการพหุนามในรูปแบบของ \( 1+ KF(s) = 0\) สามารถทำได้โดยวิธีที่เรียกว่า Root Locus Technique (เทคนิคทางเดินโลกัสของราก) เป็นการหาว่า ถ้าเราเปลี่ยนค่า K ไปเรื่อยๆแล้ว ตำแหน่งของคำตอบของสมการจะไปอยู่ที่ใดได้บ้าง จากโจทย์ที่คุณ kanji ยกมา
ให้ \( F(s) = \frac{(s − 3)(s − 6)(s − 8)(s − 10)}{(s − 2)(s − 5)(s − 7)(s − 9)} \)
จะได้ว่า มีทางเดินของราก เมื่อ \( K \geq 0 \) อยุ่ในช่วง (2,3), (5,6), (7,8), and (9,10). จริงๆ อยู่บนเส้นสีๆ ดังรูปข้างล่างคับ กากบาทคือ pole และ กลมๆคือ zero ของ F(s) นะคับ ก็จะเห็นว่าไม่มีทางเดินรากนอกเหนือแกนจริง ก็สรุปว่าเป็น รากเชิงเดียว เมื่อ \( K \geq 0 \)

[M@gpie]

ส่วนกรณี \( K < 0 \) จะวาด root locus ได้เป็นแบบรูปข้างล่างครับ ดังนั้นเมื่อ \( K < 0 \) จะมีรากในช่วง นอกเหนือจากกรณี K>0 ดังนั้นสรุปได้ว่า สมการ
\( (x−2)(x−5)(x−7)(x−9)+\lambda (x−3)(x−6)(x−8)(x−10) = 0 \)
มีรากเชิงเดียวสำหรับทุกค่า \( \lambda \) โดย Root locus

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
case 3 : $\lambda < 0$. I cannot solve this case completely but at least I can show that P(x) has four real roots and the positions of the three roots are in the intervals (3,5),(6,7), and (8,9). It seems that the position of the fourth root depends on the value of $\lambda$. For example, if $\lambda = -1$ then we have three simple roots in the intervals (3,5),(6,7), and (8,9).

ข้อนี้ผมทำไปนานมากแล้วครับ แต่ไม่ได้มาโพสต์เพราะขี้เกียจ (ตอนคิดน่ะสนุก แต่ตอนพิมพ์คำอธิบายเนี่ยเหนื่อยและค่อนข้างน่าเบื่อ) กระดาษทดก็ทิ้งไปแล้วด้วย เลยต้องโดนคิดใหม่อีกรอบ

คือกรณีที่ $\lambda<0$ เนี่ยผมแยกออกเป็นอีก 3 กรณีย่อยครับ

กรณีที่ 3.1 $\lambda=-1$ สมการจะกลายเป็นสมการกำลังสาม และมีรากอย่างที่คุณ nooonuii บอก

กรณีที่ 3.2 $-1<\lambda<0$ รากอันที่ 4 จะอยู่ในช่วง $(-\infty,2)$ เพราะ $P(2)<0$ และ $$\lim_{x\to-\infty} P(x)=+\infty$$

กรณีที่ 3.3 $-\infty<\lambda<-1$ รากอันที่ 4 จะอยู่ในช่วง $(10,\infty)$ เพราะ $P(10)>0$ และ $$\lim_{x\to\infty} P(x)=-\infty$$

สรุปได้ว่าไม่ว่า $\lambda$ จะมีค่าเท่าไหร่ $P(x)$ ก็จะมีแต่รากจริงที่เป็น simple root ครับ

[nooonuii]

ว้าวเจ๋งครับคุณ Warut
รากเชิงเดียว (simple root) คือรากที่ไม่เป็นรากซ้ำครับ