Happy New Year Problem

[nooonuii]

สำหรับข้อ 5 ผมพยายามคิดวิธีพิสูจน์แบบสั้นๆโดยไม่ต้องแยกกรณีแต่ยังทำไม่ได้ครับเลยขอเฉลยเฉพาะไอเดียบางส่วนละกัน

main idea ของโจทย์ข้อนี้คือการพิสูจน์ว่า ad - bc น 0 นั่นเองครับ เพราะคุณสมบัตินี้จะทำให้ฟังก์ชันของเราเป็นฟังก์ชันที่มีตัวผกผันซึ่งก็คือฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง
( onto ฎ 1-1) :
การพิสูจน์ข้างนี้จะง่ายกว่า จากการที่ f onto จะทำให้เราได้ว่า มี (x,y) และ (z,w) ซึ่งทำให้
\( f(x,y) = (1,0), f(z,w) = (0,1) \)
ซึ่งจะทำให้ได้ว่า
\( \bmatrix{a & b \\ c & d}\bmatrix{x & z \\ y & w} = \bmatrix{1 & 0 \\ 0 & 1} \)
ดังนั้น ad - bc น 0

( 1-1 ฎ onto) : สมมติว่า ad - bc = 0 จากนั้นพยายามแยกกรณีเพื่อทำให้ได้ว่าระบบสมการ

ax+by = 0
cx+dy = 0

มีคำตอบมากกว่า 1 คำตอบ ซึ่งก็จะขัดแย้งกับการที่ f เป็นฟังก์ชัน 1-1 ครับ

ส่วนข้อ 8,9,10 แนวคิดส่วนใหญ่ก็เหมือนกับที่หลายท่านได้ตอบมาแล้วครับ