ช่วยหาข้อมูล เรื่อง เรขาคณิตนอกระบบยูคลิด หน่อยนะค่ะ

[tai]

1.ความหมายและสาเหตุ เรขาคณินอกระบบยูคลิด
2.สัจพจน์ใหม่ ที่ใช้แทนสัจพจน์ที่5 ของนักคณิตศาสตร์ ดังนี้
2.1 เพลย์เฟร์
2.2 โปรคลุส
2.3 โบลไย
2.4 แลมเบิร์ต
2.5 ลอเรนซ์
2.6 แทส์
2.7 วอลลิส
2.8 ซักเคอรี
2.9 แนซิร แดดิน
2.10 เลอจองก์
3.เรขาคณิตเชิงไฮเปอร์โบลิด หมายถึงอะไร
4.เรขาคณิตเชิงวงรี หมายถึงอะไร
****ช่วยหาข้อมูล เรื่องนี้ให้ด้วยนะค่ะ****
------มีบางส่วนก็ได้นะค่ะ และขอแหล่งข้อมูลด้วยค่ะ-----
/////ขอขอบพระคุณนะค่ะ////

[nongtum]

ลองค้นตามห้องสมุดของคณะฯ น่าจะมีบ้างแหละครับ หรือไม่ลองค้นหาโดยกูเกิลโดยใช้คำว่า non euclidean geometry ดูครับ

[nooonuii]

แนะนำหนังสือ Road to Geometry ของ Edward C. Wallace & Stephen F. West ครับ มีเนื้อหาที่เป็น History ของวิชาเรขาคณิตรูปแบบต่างๆอยู่เยอะทีเดียว หรือไม่ก็ลองไปค้นในหนังสือ Geometry เก่าๆดูครับ

[Coco]

สัจพจน์ 5 ข้อของยุคลิดมีดังนี้ครับ

1. ลากเส้นตรงเส้นหนึ่งจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งได้ (ยุคลิดตั้งใจให้มีเส้นตรงเพียงเส้นเดียวที่ผ่านจุดสองจุด)
2. ต่อเส้นตรงที่มีความยาวจำกัดออกไปได้เรื่อย ๆ
3. เขียนวงกลมได้เมื่อกำหนดจุดศูนย์กลางและระยะทางใด ๆ
4. มุมฉากทุกมุมเท่ากัน
5. เมื่อลากเส้นตรงผ่านเส้นตรงสองเส้น ทำให้มุมภายในที่อยู่ข้างเดียวกันน้อยกว่าสองมุมฉาก เส้นตรงสองเส้นนั้นจะตัดกันทางด้านที่มีมุมน้อยกว่าสองมุมฉากถ้าต่อออกไปเรื่อย ๆ


สัจพจน์ที่ 5 ของยุคลิดได้ถูกคัดค้านอย่างรุนแรงเนื่องจากสัจพจน์ข้อนี้ไม่กระทัดรัดและเป็นบทกลับของทฤษฎีบท I.17 ในหนังสืออิลิเมนต์เล่มที่ 1 (ในทั้งหมด 13 เล่ม) และได้มีการพิสูจน์ทฤษฎีบทต่าง ๆ มากมายโดยไม่ได้ใช้สัจพจน์ข้อนี้ทำให้คิดว่าน่าจะเป็นทฤษฎีบทมากกว่า จึงทำให้มีผู้ที่จะพยายามพิสูจน์สัจพจน์ที่ 5 จากสัจพจน์ข้ออื่น ๆ จากการพยายามพิสูจน์สัจพจน์ที่ 5 นั่นเองทำให้เกิดเรขาคณิตนอกระบบยุคลิดในที่สุด


เพลแฟร์ (Playfair 1748 - 1819) ได้สร้างข้อความที่สมมูลกับสัจพจน์ข้อที่ 5 ของยุคลิดว่า "จากจุด ๆ หนึ่งสามารถลากเส้นตรงให้ขนานกับเส้นตรงที่กำหนดให้ได้เพียงเส้นเดียวเท่านั้น" เรียกว่า สัจพจน์ของเพลแฟร์ (ซึ่งในปัจจุบันนิยมใช้แทนสัจพจน์ข้อที่ 5 ของยุคลิดไปเลย)


โตเลมี เป็นนักคณิตศาสตร์ท่านแรกที่พยายามพิสูจน์สัจพจน์ที่ 5


โปรคุส ชี้ข้อผิดพลากของโตเลมีเพราะมีการอ้างสัจพจน์ของเพลแฟร์ซึ่งเป็นที่ทราบดีว่าสมมูลกับสัจพจน์ข้อที่ 5 ส่วนความพยายามของโปรคุสก็มีข้อบกพร่องเช่นเดียวกัน คือมีการอ้างว่าเส้นขนานจะมีระยะห่างจากกันเท่ากันเสมอ ซึ่งเหมือนกับยอมรับสัจพจน์ที่ 5


แนซีร เอดดีน เป็นอีกคนหนึ่งที่พยามพิสูจน์สัจพจน์ที่ 5 แต่ได้อ้างสมมติฐานที่ไม่มีการพิสูจน์ของท่าน


จอห์น วอลลิส เป็นอีกคนที่พยายามพิสูจน์สัจพจน์ที่ 5


เจโรลาโม สักเครี เป็นคนแรกที่พยายามพิสูจน์สัจพจน์ที่ 5 โดยใช้วิธีหาข้อขัดแย้ง คือสมมติว่าสัจพจน์ที่ 5 เป็นเท็จแล้วพิจารณาผลที่ได้ สุดท้ายข้อขัดแย้งที่คิดว่าจะมีนั้นก็หาไม่พบ


โยฮันน์ ไฮน์ริค ลัมแบร์ต เป็นท่านแรกที่เกือบค้นพบเรขาคณิตชนิดไฮเพอร์โบลิก


อาเดรียง มารี เลอจองค์ ท่านไม่ได้ให้แนวคิดใหม่ แต่ท่านแต่งหนังสือซึ่งใช้วิธีการคล้ายคลึงกับ สักเครี


นักคณิตศาสตร์หลายท่านเห็นความเป็นไปได้ที่จะมีเรขาคณิตแบบใหม่ ในที่สุด โบลไยและโลบาเชฟสกีได้สร้างเรขาคณิตแบบไฮเพอร์โบลิก โดยใช้นิเสธสัจพจน์ของเพลแฟร์ ดังนั้นเรขาคณิตแบบไฮเพอร์โบลิกจึงประกอบด้วยสัจพจน์ 4 ข้อแรกของยุคลิดโดยแก้ไขสัจพจน์ที่ 2 ให้หมายถึงความยาวของเส้นตรงไม่จำกัดและเพิ่มนิเสธของสัจพจน์ที่ 5 คือ "จากจุด ๆ หนึ่งสามารถลากเส้นตรงให้ไม่ตัดกับเส้นตรงที่กำหนดให้ได้มากกว่าหนึ่งเส้น"


ส่วนเรขาคณิตเชิงวงรีเกิดจากการแทนที่สัจพจน์ที่ 5 ของยุคลิดเป็น "จากจุด ๆ หนึ่งไม่มีเส้นตรงใดเลยที่ขนานกับเส้นตรงที่กำหนดให้" ตัวอย่างของเรขาคณิตเชิงวงรีได้แก่พื้นผิวของทรงกลมโดยให้เส้นตรงหมายถึง great circle นั่นเอง

สมบัติบางประการ
เรขาคณิตแบบยุคลิด ผลรวมของมุมภายในของสามเหลี่ยมเป็น 180ฐ
เรขาคณิตแบบไฮเพอร์โบลิก ผลรวมของมุมภายในของสามเหลี่ยมน้อยกว่า 180ฐ
เรขาคณิตแบบอิลิปติก ผลรวมของมุมภายในของสามเหลี่ยมมากกว่า 180ฐ

[h2o]

กระทู้เช็คอายุ ใครตอบได้มาก ก็แก่มาก อิอิ ล้อเล่น ๆ ก็มันเกิดจากการที่ เราจะพยายาม proof สัจพจน์ ที่ 5 ของ ลุงยุคคลิด แล้วทำไปทำมา เกิดเรขาขึ้นมากมายตามมา ไฮเปอร์โบลิก อีลิปติก สเฟียร์ อะไรประมาณนั้น แต่ผมไม่แก่นะ บอกก่อน กะลังเอาะ ๆ ว่าแต่เดี๋ญวนี้ หลายมหาลัยเลิกสอนแบบนี้ไปนานแล้วนี่ ทำไมยังเรียนอยู่

[Punk]

"..หลายมหาลัยเลิกสอนแล้ว..."

คุณเข้าใจผิดแล้วละครับ ถ้าเป็นมหาลัยบ้านเราคงใช่ แต่ในประเทศอื่นๆไม่ใช่ครับ

เคยได้ยินเรขาคณิตต่อไปนี้มั้ยครับ

1) Differential Geometry
2) Riemannian Geometry, Semi-Riemannian Geometry
3) Lorentzian Geometry
4) Noncommutative Geometry ๆลๆ

เราขาคณิตตอบคำถามเกี่ยวกับรูปแบบของจักรวาล ดังนั้นการเรียน Geometry ก็เหมือนกับการทำความเข้าใจรูปแบบของจักรวาลครับ

พวกเรขาคณิตแบบอื่นๆที่กล่าวมาทั้งหมด ก่อนหน้าเป็น model เป็นตัวอย่าง และเป็น
motivations ในการศึกษาเรขาคณิตชั้นสูงต่อไป

เคยได้ยินเกี่ยวกับจักรวาลคู่ขนานมั้ยครับ พิสูจน์โดยนักคณิตศาสตร์ครับ ว่ารูปแบบของ
space-time ตามทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปของ Einstein มีได้อนันต์แบบ

ถ้าลองไปดูตามมหาลัยชั้นนำของโลก คุณจะได้เห็นว่า มีอาจารย์ทำวิจัยเกี่ยวกับ Geometry มากกว่าครึ่ง ในแต่ละมหาลัย

ขออภัยที่ผมต้องเขียนอธิบายยาวครับ เพราะผมเองก็เรียนทาง Geometry เช่นเดียวกัน