อสมการและเอกลักษณ์ เกี่ยวกับ convexity

[sompong2479]

คำถามจากงานที่กระผมกำลังทำอยู่ขอรับ

ถ้า $F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ concave, homogeneous function of degree 1 และหาอนุพันธ์ได้ จะได้ว่า
$$
F(\lambda)=\sum_{i=1}^n\lambda_i\frac{\partial F}{\partial\lambda_i}(\lambda)
$$
และ
$$
\sum_{i=1}^n\frac{\partial F}{\partial\lambda_i}(\lambda)\geq F(e)\qquad(e=(1,\ldots,1))
$$
ทุก $\lambda=(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\in\mathbb{R}^n$

ขอความกรุณาท่านผู้รู้ช่วยตอบด้วยครับ ติดมาหลายวันแล้ว

[passer-by]

ในส่วนของ $\displaystyle{ F(\lambda)=\sum_{i=1}^n\lambda_i\frac{\partial F}{\partial\lambda_i}(\lambda) } $

ก็อ้างอิงตรงๆจาก Euler's theorem for homogeneity ได้เลยครับ

ส่วน $\displaystyle{ \sum_{i=1}^n\frac{\partial F}{\partial\lambda_i}(\lambda)\geq F(e)\qquad(e=(1,\ldots,1)) } $

ก็ใช้ concave property ที่บอกว่า

A differentiable function $ f(\lambda)=f(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ is concave iff. for any given$ \lambda=(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ and any other points
$ X=(X_1,\ldots,X_n)$ in domain,

$ \displaystyle f(X)-f(\lambda) \leq\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial\lambda_i}(\lambda)(X_{j}-\lambda_{j}) $

โดย แทน X ด้วย e แล้วก็จัดรูปอีกนิดหน่อย จากนั้นค่อยใช้ Euler's theorem for homogeneity ก็จะได้ผลตามที่ต้องการครับ

ว่าแต่ งานที่คุณ sompong2479 กำลังทำนี่เป็นงานประมาณไหนหรือครับเนี่ย

[sompong2479]

ขอบคุณมากครับ คุณ passer-by

ผมกำลังทำเกี่ยวกับ hyperbolic polynomial เอาไปใช้ใน $k$-Yamabe problem ครับผม

ขออนุญาติถามอีกข้อนะครับ

ถ้า $\sigma_k(\lambda)=\sum_{{i_1}<\cdots<{i_k}}
\lambda_{i_1}\cdots\lambda_{i_k}$ และ $l<k$ แล้ว $(\sigma_k/\sigma_l)^{1/(k-l)}$ เป็น concave function บนโดเมน
\[
\Gamma=\{\lambda\in\mathbb{R}^n:\sigma_j(\lambda)>0,\,\,j=1,\ldots,k\}
\]

Note. แก้ข้อสังเกตุของ passer-by ตรงนิยาม $\sigma_k$ ครับ ขอบคุณมากครับ

[passer-by]

ทำไมข้อ 2 มันโหดกว่าข้อแรกหลายเท่าตัวเลยล่ะครับ

และผมว่า index ใน summation ของ $ \sigma_k(\lambda)$ มันแปลกๆอยู่นะ หรือผมคิดไปเองก็ไม่รู้

ถึงแม้ตอนนี้ผมยังคิดไม่ออกว่าจะพิสูจน์ยังไงดี แต่ผมมีคำแนะนำให้คุณ sompong2479 อยู่ 2 อย่าง ครับ

1. ผมคาดว่าคำถามที่คุณ sompong2479 ถามนี้ อาจจะอยู่ในวิชา differential geometry ซึ่งน่าจะมีบทพิสูจน์แบบสวยๆ อยู่ในหนังสือหรือ website ใดซักแห่ง

2. ลอง pm คุยกับ พี่ Punk ที่เป็นผู้ดูแลทั่วไป โดยตรง จะดีกว่าไหมครับ เพราะพี่ Punk เรียนทางด้าน advance geometry อยู่ อาจจะช่วยได้ครับ (ถ้าพี่เขาว่างพอ)

[passer-by]

ลองอ่าน paper นี้ ตั้งแต่หน้า 8 ลงไป (โดยเฉพาะหน้า 14) คงจะช่วยผ่อนหนักเป็นเบาได้บ้างนะครับ

p.s. พวก manifold , differential geometry ,curvature ไม่ค่อยถูกโฉลกกับผมซะด้วยสิ

[sompong2479]

ขอบพระคุณมากๆครับคุณ passer-by ที่กรุณาตอบคำถามของผม

คำถามสุดท้ายแล้วกันครับ คุณ passer-by ทำด้านไหนเหรอครับ (หมายถึง math นะครับ) ท่าทางคงไม่ใช่ธรรมดาๆแน่ๆ

PS เพิ่งเจอการพิสูจน์อันแรกอีกแบบครับ ใช้สิ่งที่คุณ passer-by บอกเลยครับ เกี่ยวกับนิยาม concave บรรทัดเดียวจบครับ
$$
(\theta-1)F(\lambda)=F(\theta\lambda)-F(\lambda)\leq\sum_{i}
(\theta\lambda_i-\lambda_i)\frac{\partial F}{\partial\lambda_i}(\lambda)
$$
เมื่อแทน $\theta<1$ และ $\theta>1$ ตามลำดับ จะได้ตามต้องการครับ สวยจริงๆพิสูจน์อันนี้ไม่รู้คิดได้ไง

[passer-by]

ข้อความเดิมของคุณ sompong2479:
ขอบพระคุณมากๆครับคุณ passer-by ที่กรุณาตอบคำถามของผม

จริงๆ ไม่ต้องขอบคุณให้เป็นพิธีรีตองขนาดนี้ก็ได้ครับ ผมก็ไม่ได้เก่งอะไรมากมาย

ข้อความเดิมของคุณ sompong2479:
คำถามสุดท้ายแล้วกันครับ คุณ passer-by ทำด้านไหนเหรอครับ (หมายถึง math นะครับ)

จะตอบยังไงดีล่ะ เอาเป็นว่า ตอนนี้ผมบอกได้แค่ว่า กำลังจะได้ทำเกี่ยวกับ Applied maths for medical science ครับ

แต่ยังไง ผมว่าคุณ sompong2479 ทำเกี่ยวกับ Yamabe problem นี่ก็ดีแล้วครับ เพราะตอนนี้thesis/senior project ทาง differential geometry ในบ้านเรา ก็ยังไม่ mature ซักเท่าไหร่ ยังมีทางไปได้อีกเยอะ ถ้าสนใจจริง (ยกเว้นผมคนนึงล่ะ)

และ อย่างน้อยก็จะได้เติมเต็ม board ที่นี่ด้วยครับ เผื่ออนาคต มีคนมาถามปัญหาเกี่ยวกับ advance geometry จะได้มีบุคลากรรองรับ (ว่าไปนั่น)

เพราะตอนนี้ ถ้าเป็นปัญหาประถม,มัธยม หรือแนว fundamental calculus,advanced linear algebra, abstract algebra ,real analysis, number theory มีเซียนมาช่วยตอบกันมากมายแล้ว

[warut]

ขอเดาว่าเป็นเรื่อง tomogram (เพราะเห็นว่าเกี่ยวกับ geometry) ใช่ไหมครับคุณ passer-by

[sompong2479]

พูดถึง advance geo ใน applied science ทำให้นึกถึง image processing เลยครับ ตอนนี้ได้ยินว่ากำลังมาแรงมากๆ ผมเดาว่าคุณ passer-by น่าจะทำเกี่ยวกับเรื่องนี้แน่ๆ

[passer-by]

ข้อความเดิมของคุณ sompong2479:
พูดถึง advance geo ใน applied science ทำให้นึกถึง image processing เลยครับ ตอนนี้ได้ยินว่ากำลังมาแรงมากๆ

advance geo. ในการตีความของผมเอง คือ อะไรก็ได้ที่ไม่ใช่ Plane geometry หรือ Analytic geometry อย่างที่น้องๆมัธยมเรียนอยู่น่ะครับ อาจจะเป็น differential geom. , Non-euclidean geom. etc. ซึ่งจะไปเน้นศึกษาพวกเรขาคณิตของ surface, curve ประมาณนี้มากกว่า

ส่วน image processing ก็ มาแรงอยู่แล้วล่ะครับ เพราะ มันเอาไปทำได้หลายอย่าง เช่น ในวงการแพทย์ (MRI, CT scan) หรือ computer graphic

maths สำคัญๆที่ใช้ image processing ก็อย่างเช่น wavelet ,radon transform etc.

ข้อความเดิมของคุณ warut:
ขอเดาว่าเป็นเรื่อง tomogram (เพราะเห็นว่าเกี่ยวกับ geometry)

เคยคิดจะจับงานทาง tomogram หรือ Medical imaging อยู่เหมือนกันครับ แต่ไม่เหมาะกับบุคลิกแบบผม

medical science ที่ผมจะทำ ตอนนี้ขอตอบแค่กว้างๆ ก่อนว่า อยู่ในประเภท biofluid mechanics เพื่อเอาไปช่วยในการศึกษาและรักษาโรค มากกว่าครับ เรียกว่าเป็นทั้ง maths, physics, anatomy รวมตัวกัน เห็นจะได้

ดังนั้นการที่ ผมพอจะ ช่วยตอบคำถาม 2 ข้อข้างบนได้ ไม่ได้ refer ว่าผมจะเป็นพวก geometry lover หรอกครับ ที่รู้บ้าง เพราะ 2 สาเหตุครับ

1. ก่อนที่ผมจะจบ ป.ตรี อาจารย์ที่ผมสนิทที่สุด เขาสนใจทาง differential geom. ครับ ผมก็เลยได้อานิสงส์ รู้บ้างนิดๆหน่อยๆ (จริงๆ เขาก็พยายามหว่านล้อมให้ผมชอบ แต่ไม่สำเร็จครับ ) แล้วพอคุณ sompong2479 เปิดประเด็นข้อ 2 ผมก็เลยมั่นใจว่า ต้องเกี่ยวกับ diff. geom.

2. มีคนใน field อื่น เช่น เคมี เศรษฐศาสตร์ etc. ชอบมาถาม mathsที่เขาต้องใช้ กับผมอยู่เนืองๆ ก็เลยทำให้ ผมได้ศึกษาอะไรที่กว้างกว่าที่ผมเรียนมา อย่างที่ผมตอบข้อ 1 ได้ ก็คงต้องยกเครดิตให้กับ เด็กเศรษฐศาสตร์ที่มาถามพวก concave, convex , homogeneous function ทำให้จากที่ผมไม่รู้จัก euler's theorem for homogeneity ก็เลยรู้จักทันที

(ใครคิดจะเรียนเศรษฐศาสตร์ ก็เตรียมใจไว้นะครับ ว่าไม่ได้มีแต่ calculus หรือ สถิติ พื้นๆ อย่างเดียว)

[warut]

ว้า เดาผิดอีกแล้ว หมู่นี้เดาไม่ค่อยแม่นเลย

สำหรับ "biofluid mechanics" นี่ฟังดูขลังดีจัง ไม่เคยรู้เลยครับว่ามีงานแบบนี้ให้ทำในเมืองไทยด้วย เอ่อ... พอจะมีตำแหน่งว่างเหลืออีกมั้ยครับ

[passer-by]

ข้อความเดิมของคุณ warut:
ไม่เคยรู้เลยครับว่ามีงานแบบนี้ให้ทำในเมืองไทยด้วย

งานในที่นี้ หมายถึง ประมาณ thesis/งานวิจัย ไม่ใช่งาน แบบทำกินเงินเดือนนะครับ

ข้อความเดิมของคุณ warut:
เอ่อ... พอจะมีตำแหน่งว่างเหลืออีกมั้ยครับ

เอาไว้ถ้าเริ่ม start งาน เมื่อไหร่ ก็มาเป็น R.A. หรือ consultant ให้ผมก็ดีนะครับ

[sompong2479]

ผมว่าอาจารย์ passer-by กับอาจารย์ warut คงช่วยทำให้น้องๆหลายๆคนได้รู้แล้วนะครับ ว่าเรียน math แล้วจะไปทำงานอะไร หรือจะไปทำอะไรได้

[sompong2479]

อยากถามคุณ passer-by เป็นวิทยทานครับ biofluid ทำเกี่ยวกับอะไรเหรอครับ
(ถ้าเอาผลลัพธ์มาใช้สร้างเครื่องมือได้ก็ดีสิครับ)

อีกอันครับ แล้ว math ใน economics นี่ทำอะไรบ้างครับ ขอบคุณล่วงหน้าครับ

PS ผมว่าคนไทยเราเองก็เก่งเลขไม่แพ้คนชาติอื่นเลยแหละครับ แต่อุปสรรคคือไม่รู้เรียนไปทำอะไร
(สุดท้ายมักจะแพ้ความยั่วยวนอย่างอื่น เช่น ความร่ำรวย การมีหน้ามีตาในสังคม(ไทย) เลยต้องหันเหไปเรียนอย่างอื่นแทน)

[passer-by]

biofluid ก็แปลตามรากศัพท์ bio+ fluid ตรงๆเลยครับ ความหมายก็จะประมาณ ของไหลที่อยู่ในร่างกายสิ่งมีชีวิต เช่น เลือด เหงื่อ ปัสสาวะ เอนไซม์ etc. ตัวที่ well- knownและน่าศึกษาที่สุด ก็คือ เลือดนี่แหละครับ

พอมาบวกกับคำว่า mechanics ก็จะ ประมาณว่า ศึกษาการไหลเวียนของของไหลในสิ่งมีชีวิต ภายใต้ condition ต่างๆ ทั้งในยามร่างกายปกติ และร่างกายผิดปกติ(เช่น เกิดการอุดตันในหลอดเลือด หรือท่อปัสสาวะ ประมาณนี้แหละครับ) ส่วนจะนำมาสร้างเครื่องมือได้หรือเปล่านั้น ก็อยู่ที่พวก bioengineer แล้วล่ะครับ

รายละเอียดมากกว่านี้ ลอง pm มาคุยกันส่วนตัวก็ได้ครับ ถ้าสนใจ ยังมีระบบอื่นๆในร่างกาย ให้เล่าได้อีกหลายตอน

ส่วนเรื่อง maths ใน economics ก็มีมากมายครับ ผมขอแบ่งเป็น 2 ส่วน แล้วกัน คือ
1. เชิงคณิตศาสตร์ : เท่าที่ผมรู้ ก็คือ เศรษฐศาสตร์จะสนใจการนำ mathsไปใช้ 3 รูปแบบใหญ่ๆครับ

1.1 optimization หรือการหาค่าเหมาะสมที่สุด เช่น ศึกษา maximum/minimum เช่น จะหากำไรสูงสุด หรือค่าใช้จ่ายน้อยสุดจากฟังก์ชันตัวแปรเดียว ใน แคลคูลัส ม.ปลาย ก็ถือเป็น optimization แล้วครับ แต่เป็นแบบ baby

แต่ส่วนใหญ่ใน model ต่างๆ ของเศรษฐศาสตร์ ตัวแปรตาม ไม่ได้ ขึ้นกับตัวแปรต้นเพียงตัวเดียว เสมอไป เช่น ปริมาณสินค้าอย่างหนึ่งที่ผู้บริโภคจะซื้อ อาจจะขึ้นกับ ทั้ง ราคาสินค้า และ รายได้ผู้บริโภค ก็เลยมีการศึกษา optimization ของฟังก์ชันหลายตัวแปร และเป็นที่มาที่ทำให้ พวกเขาต้องศึกษาตั้งแต่อนุพันธ์ย่อยและกฎต่างๆ , lagrange multiplier และ concave, convex property (เพื่อยืนยันความเป็น global max/min) ครับ

ในบางครั้ง การหาค่าเหมาะสมที่สุด ก็ต้องกระทำภายใต้เงื่อนไข จำกัดบางอย่าง ก็เลย เป็นที่มาของการศึกษา linear/nonlinear programming อย่างที่ ม.ปลาย รู้จักกันในนาม กำหนดการเชิงเส้นนั่นแหละครับ ซึ่ง ที่น้องๆเรียนนั้นก็เป็นแบบ baby อยู่ครับ ของจริง จะมาวาดกราฟตัดกัน หาบริเวณแรเงา มันทำไม่ได้เสมอไป เพราะปริมาณตัวแปรบนโลกความจริงมากกว่า 3 ตัวแน่นอน ก็จะเรียนพวก simplex method เพิ่มเข้าไปอีก

แต่ที่ surprise ผมมากที่สุด คงจะเป็น dynamic optimization ครับ ผมไม่แน่ใจว่าเศรษฐศาสตร์ทุกคณะ เรียนเรื่องนี้รึป่าว ตรงนี้ผมอ้างอิงจากที่เคยมีเด็กม.ธรรมศาสตร์ มาถามนะครับ

dynamic optimization จะเรียน max/min ของฟังก์ชันที่ติดเครื่องหมาย integrate ซึ่งเราเรียกกันว่า functional form ครับ ก็จะมี 2 สาขาใหญ่ๆ คือ calculus of variation และ optimal control theory ที่ใช้เป็น tool สำคัญในวิชานี้

ผมจำไม่ได้แล้วว่า model ในทาง econ. ตัวไหนใช้กับ dynamic opt.

ไหนๆ พูดเรื่องนี้ แล้วก็ขอให้วิทยาทานกันนิดนึงนะครับ คือ การหา max/min ที่เรียนกันในแคลคูลัส ม.ปลาย ไปจนถึง ปี1 เนี่ย เราเรียกว่าเป็นแบบ static optimization เช่น กำหนดเชือกยาว L หน่วย จะล้อมเป็นสี่เหลี่ยมมุมฉาก ให้ได้พื้นที่มากสุด สี่เหลี่ยมนี้ ควรกว้าง ยาวเท่าใด ตรงนี้ต้องใช้ calculus ปกติใช่ไหมครับ และได้คำตอบออกมาเป็นตัวเลข 2 ตัว คราวนี้ผมถามใหม่

ถ้ามีเชือกยาว L หน่วย จะล้อมให้เป็นบริเวณปิดที่มีพื้นที่มากสุด ควรล้อมเป็นรูปอะไร อย่างนี้ เรียกว่า dynamic optimization ครับ ซึ่งคำตอบจะออกมาเป็นฟังก์ชัน

1.2 differential equation/difference equation ถ้าศึกษาข้อมูลที่ต่อเนื่อง ก็จะใช้ differential eq. แต่ถ้าเป็นข้อมูลไม่ต่อเนื่อง ก็จะใช้ difference eq.

ตัวอย่าง differential eq. $ \frac{dy}{dt}= y+6 $
ตัวอย่าง difference eq. $ y_{t+1}= y_{t}+6 $

แต่ความเข้มข้นก็จะไม่มากเท่าที่คณะวิศวะ หรือคณะวิทยาศาสตร์ เรียนกันนะครับ แต่เขาจะไปเน้นเรื่อง วิธี solve พ่วงไปกับพวก solution illustration มากกว่า นอกจากนี้ ก็จะศึกษาว่าระบบที่ควบคุมด้วยสมการดังกล่าว เสถียรมั้ย มี steady state มั้ย

1.3 linear algebra และอื่นๆ พื้นฐานที่ต้องเรียนก็คือแก้สมการเชิงเส้น n ตัวแปร ครับ และก็เรื่องต่างๆ ทั่วไปเกี่ยวกับเมตริกซ์เพราะนำไปใช้เป็นพื้นฐานของหลายๆเรื่อง บางครั้งก็จะแถมเรื่องทาง pure maths เข้าไปด้วย เช่น open set, closed set, compact set ผมเข้าใจว่า มันจะเป็นประโยชน์กับผู้ที่ต้องการต่อ ป.โท ป.เอกทาง econ. มากกว่าคนที่จบ ป.ตรี แล้วไปทำงานเลย

2. เชิงสถิติ ก็จะมี 3 แขนงใหญ่ๆครับ คือ สถิติพื้นฐาน regression และก็ อนุกรมเวลา ขออธิบายในส่วน regression นิดนึงครับ จริงๆก็ต้องเรียนตั้งแต่ ม.ปลาย ในเรื่องความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันครับ ที่จะมี scatter diagram แล้วหาสมการเส้นตรงที่ลากผ่านจุดข้อมูล โดยใช้วิธีกำลังสองน้อยสุด นั่นแหละครับ แต่ในระดับอุดมศึกษา เราจะเรียนลึกลงไปอีกว่า เส้นที่คำนวณได้ น่าเชื่อถือแค่ไหน เป็นตัวแทน scatter diagram ได้ดีแค่ไหน หรือที่ภาษาสถิติเรียกว่า test goodness of fit ครับ และก็พวกพฤติกรรมข้อมูลแบบแปลกๆที่มีผลต่อสมการครับ

ในส่วนของ regression จะบรรจุในวิชา เศรษฐมิติ หรือที่เรียกว่า econometrics ครับ

ข้อความเดิมของคุณ sompong2479:
ผมว่าคนไทยเราเองก็เก่งเลขไม่แพ้คนชาติอื่นเลยแหละครับ แต่อุปสรรคคือไม่รู้เรียนไปทำอะไร

อันนี้ไม่ขอ ออกความเห็นตรงนี้ดีกว่า เดี๋ยวพูดกันยาว