ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 15: Group Theory

[warut]

ให้ $(G,*)$ เป็น group ที่มีเอกลักษณ์คือ $e_G$
ถ้า $H\subseteq G$ และ $(H,*)$ เป็น group ที่มีเอกลักษณ์คือ $e_H$
จงพิสูจน์ว่า $e_G=e_H$

ป.ล. เรื่อง group เนี่ยครั้งหนึ่งเคยอยู่ในหลักสูตร ม.ปลาย แต่ปัจจุบันนี้โดนตัดออกไปแล้ว (ต้องขอขอบคุณ คุณ gon ไว้ ณ.ที่นี้ด้วยที่ให้ข้อมูลเรื่องนี้กับผม) ดังนั้นโจทย์ข้อนี้จึงถือว่าเกินหลักสูตรไปนิดหน่อย แต่ผมเห็นว่ามันน่าสนใจมาก จึงอดไม่ได้ที่จะเอามาเป็นปัญหาชิงรางวัล เรื่อง group เบื้องต้นนี่ก็ไม่มีอะไรมากครับ ใครไม่รู้ก็ศึกษาเอาจากนิยามแบบง่ายๆที่ผมให้ไว้ข้างล่างนี่ได้เลย

เราจะเรียก $(G,*)$ ว่าเป็น group ถ้า $G$ เป็นเซ็ตที่ไม่ใช่เซ็ตว่าง และ $*$ เป็น operation โดยที่ $(G,*)$ มีสมบัติ 4 ข้อต่อไปนี้
1. $a*b\in G$ สำหรับทุก $a,b\in G$ (สมบัติปิด)
2. $(a*b)*c= a*(b*c)$ สำหรับทุก $a,b,c\in G$ (สมบัติการจัดหมู่)
3. มี $e\in G$ ที่ทำให้ $a*e=e*a=a$ สำหรับทุก $\,a\in G$ เราเรียก $e$ ว่าเป็นเอกลักษณ์ของ group $(G,*)$
4. สำหรับแต่ละ $a\in G$ จะมี $b\in G$ ที่ทำให้ $a*b=b*a=e$ เราเรียก $b$ ว่าเป็น inverse ของ $a$ และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $a^{-1}$

นิยามอันนี้ผมเขียนเอาจากในหัว ไม่ได้เปิดหนังสือ ดังนั้นถ้ามีข้อผิดพลาดประการใดก็ช่วยท้วงติงด้วยนะครับ

ตัวอย่างของ group ก็เช่น $(\mathbb Z,+)$ และ $(\mathbb R^+,\times)$ แต่ $(\mathbb R,\times)$ ไม่เป็น group ครับ

[nongtum]

short solution\hints

จาก $\forall a\in H\ \Rightarrow\ a\in G$ จะได้ $e_H=aa^{-1}=e_G$

[warut]

ยังไม่ถูกนะครับ เพราะเรายังไม่ทราบว่า inverse ของ $a$ ใน $G$ กับ inverse ของ $a$ ใน $H$ คือตัวเดียวกัน (เราจะรู้ว่าเป็นตัวเดียวกันก็ต่อเมื่อเราพิสูจน์ได้แล้วว่า $e_G=e_H$ ครับ)

[R-Tummykung de Lamar]

ที่ $(\mathbb R,\times)$ ไม่ใช่นี่
เพราะว่า ผิดกฏข้อ 4 ไหมครับ
เพราะถ้าเลือก $a\ =\ 0$ แล้ว จะมี $b$ ซึ่ง
$0\times b = b\times 0\ =\ 1$
ซึ่งไม่จริง

ใช่จุดนี้ไหมครับ

[warut]

ใช่แล้วครับ

[passer-by]

ขอตอบเล่นๆ ไม่เอาคะแนนได้มั้ยครับเนี่ย แค่อยากจะเคาะสนิมวิชา algebra เฉยๆ อ่ะ

เพราะ$ e_{G}*e_{H}=e_{H}=e_{H}*e_{H} $...(*)

และจาก $ e_{H}\in H \subset G \quad $ ดังนั้น

มี $ e_{H}^{-1}\in G $ ซึ่ง $ e_{H}*e_{H}^{-1}=e_{G} $

จาก (*) จะได้
$\begin{array}{cr} (e_{G}*e_{H})*e_{H}^{-1}=(e_{H}*e_{H})*e_{H}^{-1} \\ e_{G}*(e_{H}*e_{H}^{-1})=e_{H}*(e_{H}*e_{H}^{-1}) \\ e_{G}*e_{G}=e_{H}*e_{G} \\ e_{G}=e_{H} \end{array} $

[sompong2479]

ผมสงสัยนะครับ ว่า $H$ เป็นกรุ้ปที่ได้ group structure จาก $G$ นี่ครับ (เพราะได้การคูณมาจาก $G$)
และเป็นที่ทราบกันดีว่าแต่ละกรุ้ปมี identity เพียงหนึ่งเดียว ดังนั้นมันก็แน่นอนสิครับว่า $H$ ต้องเป็น subgroup ของ $G$ (มากกว่าแค่เป็น subset)
ดังนั้น $e_H=e_G$

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ passer-by:
ขอตอบเล่นๆ ไม่เอาคะแนนได้มั้ยครับเนี่ย

ไม่ได้อะครับ เรื่องนี้เคยตอบคุณ M@gpie ไปแล้ว แต่เดี๋ยวผมจะไปเขียนบอกเพิ่มไว้ในกระทู้หลักด้วยนะครับ

สำหรับคำตอบของคุณ passer-by นั้นถูกต้องแล้ว ดังนั้นคุณ passer-by จำเป็นต้องรับคะแนนไป 5 คะแนนครับ

ส่วนเฉลยของผมเป็นดังนี้ครับ

ให้ $e_H^{-1}$ เป็น inverse ของ $e_H$ ใน $(G,*)$ ดังนั้นเราจะได้ว่า
$$e_H= e_H*e_G= e_H*(e_H*e_H^{-1})= (e_H*e_H)*e_H^{-1}= e_H*e_H^{-1}= e_G$$

ข้อความเดิมของคุณ sompong2479:
ผมสงสัยนะครับ ว่า $H$ เป็นกรุ้ปที่ได้ group structure จาก $G$ นี่ครับ (เพราะได้การคูณมาจาก $G$)
และเป็นที่ทราบกันดีว่าแต่ละกรุ้ปมี identity เพียงหนึ่งเดียว ดังนั้นมันก็แน่นอนสิครับว่า $H$ ต้องเป็น subgroup ของ $G$ (มากกว่าแค่เป็น subset)
ดังนั้น $e_H=e_G$

ที่คุณ sompong2479 พูดมาทั้งหมดก็คือสิ่งที่ทำให้ผมต้องเอาข้อนี้มาถามล่ะครับ ยังมีคนจำนวนมาก (รวมไปถึง Dr./Prof.) ที่ยังเข้าใจผิดว่า $e_G=e_H$ เพราะ $e_G$ unique ความจริง unique ก็คือ unique ใน $(G,*)$ แค่นั้นไม่เกี่ยวกับเรื่องนี้เลย เพื่อความเข้าใจลองมาดูคำถามเสริมข้อนี้กันครับ

ขอเริ่มจากการแนะนำให้รู้จักกับ monoid ครับ นิยามของ monoid ก็เหมือนกับ group ที่เขียนไว้ข้างบน ต่างกันแค่จุดเดียวครับคือ monoid ไม่จำเป็นต้องมีสมบัติข้อ 4. นั่นคือ group ทุกอันเป็น monoid $(\mathbb R,\times)$ ก็เป็น monoid แต่ไม่เป็น group ครับ

เป็นที่รู้กันดีว่าเอกลักษณ์ของ monoid นั้น unique เช่นเดียวกับของ group (พิสูจน์ ให้ $e$ เป็นเอกลักษณ์ของ monoid $(G,*)$ ถ้า $e'$ ก็เป็นเอกลักษณ์ของ $(G,*)$ ด้วย เราจะได้ว่า $e=e*e'=e'$)

คำถาม
ให้ $(G,*)$ เป็น monoid ที่มีเอกลักษณ์คือ $e_G$
ถ้า $H\subset G$ และ $(H,*)$ ก็เป็น monoid ด้วย โดยที่ $(H,*)$ มีเอกลักษณ์คือ $e_H$
จงแสดงว่า $e_H$ ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ $e_G$

[sompong2479]

ลึกซึ้งจริงๆขอคาราวะครับ

บางครั้ง common sense ก็อาจจะไม่จริง เยี่ยมจริงๆคับคุณ warut
เพราะยังงี้ผมเลยไม่ชอบ algebra เลยครับ ละเอียดอ่อนจริงๆ ยิ่งเป็น semigroup ยิ่งเข้าป่าเลย

[nooonuii]

A Counterexample if we replace 'Group' with 'Monoid' :

Let G be a monoid with at least two idempotent elements. Let e_H be another idempotent element distinct from e_G and let H = {e_H}. Then H is a subsemigroup of G. In fact, H is a group.

P.S. An element a is called idempotent if a² = a*a = a.

[warut]

ว้าว ตอบกันเร็วจริงแฮะข้อนี้ คุณ nooonuii รับไปอีก 5 คะแนนครับสำหรับคำตอบที่ถูกต้อง

เนื่องจากคำตอบของคุณ nooonuii เป็นภาษาอังกฤษ และตัวอย่างค่อนข้าง abstract ผมขออธิบายเพิ่มเติม เผื่อมีน้องๆคนไหนไม่เข้าใจนะครับ

จะเห็นว่า monoid $(\mathbb R,\times)$ มี 1 เป็นเอกลักษณ์ และมี $0=0^2\ne1$ เป็น idempotent element ดังนั้นเราจึงได้ $\{0\}\subset\mathbb R$ และ $(\{0\}, \times)$ เป็น monoid (จริงๆแล้วเป็น group ด้วย) ที่มีเอกลักษณ์คือ $0\ne1$

ถ้างั้นถามต่อเลยนะครับ

มีตัวอย่างที่ $H$ มีสมาชิกมากกว่า 1 ตัวไหมครับ

[passer-by]

ข้อความเดิมของคุณ warut:
ไม่ได้อะครับ เรื่องนี้เคยตอบคุณ M@gpie ไปแล้ว

หลังจากตอบเสร็จไปแป๊บนึง ผมก็รู้สึกเหมือนทำผิดกฎอะไรซักอย่าง

แต่นึกไม่ออกว่าคุณ warut บอกไว้ที่ไหน ผมไปหาในกระทู้ปักหมุด ก็ไม่เจอ มาซ่อนอยู่ที่ปัญหาข้อ2 นั่นเอง

อย่างงี้ จะโดนโหวตออกมั้ยครับ ท่านผู้คุมกฎ

[nooonuii]

ลองพิจารณาสองเซตนี้ครับ

\( G = \{ \bmatrix{0 & 0 \\ 0 & 0}, \bmatrix{1 & 0 \\ 0 & 1}, \bmatrix{1 & 1 \\ 0 & 0} \} \)
\( H = \{ \bmatrix{0 & 0 \\ 0 & 0} , \bmatrix{1 & 1 \\ 0 & 0} \} \)

G และ H เป็น monoid ภายใต้การคูณปกติของ matrix โดยที่
\( e_G = \bmatrix{1 & 0 \\ 0 & 1} \ \) และ \( e_H = \bmatrix{1 & 1 \\ 0 & 0} \)

General Example :

Let G be a monoid with at least 3 idempotent elements and two of them are the zero and identity elements, say $0_G$ and $e_G$ respectively. Let $e_H$ be another idempotent element distinct from $e_G$ and $0_G$ and let $H = \{ 0_G , e_H \}$. Then H is a subsemigroup of G with the identity element $e_H$. In this case, H is not a group.

P.S. An element a is called a (two-sided) zero of G if $a*x = x*a = a $ for all $x\in G$.

[warut]

แหม คุณ nooonuii นี่ขี้เหนียวจัง ขอครั้งแรกได้ $H$ มีสมาชิก 1 ตัว ขอครั้งที่ 2 ได้ $H$ มีสมาชิก 2 ตัว แต่ไม่เป็นไรผมก็ยังให้ได้อีก 3 คะแนนสำหรับตัวอย่างอันหลังครับ (เดิมทีผมตั้งใจจะขอตัวอย่างแค่อันเดียวเท่านั้นครับ)

ตัวอย่างของผมคือ ให้ $G$ เป็นเซ็ตของ real matrices ขนาด 2 x 2 นั่นคือ
$$G= \bigg\{ \pmatrix{a&b \\ c&d} \bigg| \,a,b,c,d\in \mathbb R \bigg\}$$
ถ้า $\cdot$ คือการคูณปกติของ matrix เราจะได้ $(G,\cdot)$ เป็น monoid ที่มีเอกลักษณ์ $e_G= \pmatrix{1&0 \\0&1}$
ให้
$$H=\bigg\{ \pmatrix{a&0 \\ 0&0} \bigg| \,a\in \mathbb R \bigg\} \subset G$$
เราจะได้ว่า $(H,\cdot)$ เป็น monoid ที่มีเอกลักษณ์ $e_H= \pmatrix{1&0 \\0&0}\ne e_G$

ข้อนี้ทำเสร็จกันเร็วมากๆเลยนะครับ

[nooonuii]

อ่า ผมคิดต่อมาจากตัวอย่างก่อนหน้านี้น่ะครับ แหะแหะ
ตัวอย่างของคุณ Warut สวยดีครับ ทำให้เห็นมุมมองของเซตของจำนวนจริงในอีกรูปแบบหนึ่ง จริงๆแล้วเซต H ของคุณ Warut มัน admit ring structure ด้วยครับ(ด้วยการบวกปกติของ matrix) ซึ่งก็ไม่ใช่อะไรอื่นไกลเพราะมันคือ Field of Real Numbers นั่นเอง