โจทย์ของ simple[2] (โจทย์ binomial)

[infinity]

2.) ให้ a = รากที่สามของ 3 และ b = รากที่สี่ของสี่
ในการกระจาย (a+b)¹²³⁴ ใครๆ ก็รู้ว่ากระจายได้จำนวน 1235 พจน์ ถามว่าในจำนวนนี้มีกี่พจน์ที่เป็นจำนวนเต็ม

ตอบง่ายๆ จาก (a+b)กำลังn =................แบบว่าไม่อยากเขียนสูตรนะไปหาเอาเองในหนังสือเรียน สสวท. จะได้ว่า
ตัวเลขตั้งแต่ 1-1234มีกี่จำนวนที่หารด้วย 6ลงตัว ดังนั้น ตอบ 1230/6=205จำนวน พี่ขอถามต่อไปว่าถ้า aเป็นรากที่3ของ6 bเป็นรากที่4ของ24จะได้คำตอบเป็นอะไร
41040700๕๕๕๕฿฿฿฿

เนื่องจากแต่ละเทอมย่อยของ (a + b)¹²³⁴ คือ (?)a^xb^y โดยที่ x,y >= 0 และ x + y = 1234
ดังนั้นสำหรับเทอมที่เป็นจำนวนเต็มจึงอยู่ในรูป (?)a^3mb²ⁿ โดยที่ m,n >=0 และ 3m + 2n = 1234
จำนวนพจน์ที่ได้จึงเท่ากับจำนวนคำตอบของสมการ 3m + 2n = 1234 โดยที่ m,n >=0 และ 3m + 2n = 1234
ซึ่งหาได้ไม่ยาก เพราะ m ที่เป็นไปได้คือ m = 0 , 2 , 4 , ... , 410 จึงได้จำนวนพจน์เป็น 206