ช่วยพิสูจน์ determinant ข้อนี้หน่อยครับ

[HTR]

กำหนด $A$ เป็น เมตริกซ์ ขนาด $n\times n$ เมื่อ $n\succ 2$ แล้วพิจารณาข้อความต่อไปนี้

ถ้า $B = adj A$ แล้ว $det(adjB) = (det A)^{(n-1)^2}$

**** ช่วยพิสูจน์ให้ทีครับ ว่าเหตุใดประโยคดังกล่าว จึงเป็นจริง *****

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ HTR

กำหนด $A$ เป็น เมตริกซ์ ขนาด $n\times n$ เมื่อ $n > 2$ แล้วพิจารณาข้อความต่อไปนี้

ถ้า $B = adj A$ แล้ว $det(adjB) = (det A)^{(n-1)^2}$

**** ช่วยพิสูจน์ให้ทีครับ ว่าเหตุใดประโยคดังกล่าว จึงเป็นจริง *****

เพราะว่า $adj(A) = |A|A^{-1} $

ดังนั้น $ |adj(A)| = ||A|A^{-1} |$

แต่ $|kA| = k^n|A|$

จึงได้ว่า $ |adj(A)| = ||A|A^{-1} | = |A|^n|A^{-1}| = |A|^n|A|^{-1} = |A|^{n-1}$

ดังนั้น $|adj(adj(A))| = |adj(A)|^{n-1} = (|A|^{n-1})^{n-1} = |A|^{(n-1)^2}$