คิดไม่ออก

[au]

เมื่อ p หารด้วย 5,8,13 เหลือเศษ 3,5,11 ตามลำดับ จงหาค่า p ที่มากที่สุดโดยที่ p < 1000 (คือผมพยายามหาแนวคิดแล้วคิดไม่ออก ได้แต่เริ่มต้น จากนั้นมองสมการไม่ออกเลย ว่าจะเป็นเรื่อง หรม.หรือ ครน. หรือเปล่า)
วิธีของผม ให้ a เป็นผลลัพธ์ ของการหารด้วย 5
ให้ b เป็นผลลัพธ์ ของการหารด้วย 8
ให้ c เป็นผลลัพธ์ ของการหารด้วย 13
จะได้ (1) p = 5a + 3
(2) p = 8b + 5
(3) p = 13c + 11
แต่ใช้วิธีลักไก่ ได้คำตอบคือ 973
ใครรู้แนวทางช่วยชี้แจงด้วยครับ

[gon]

ข้อนี้คิดได้หลายอย่างแล้วแต่ระดับความรู้ครับ.

เอาแบบนี้ล่ะกันลองดู

จากสมการที่ตั้งไว้แล้วนั้น จะได้ว่า 5a + 3 = 8b + 5 หรือ 5a = 8b + 2
จะเห็นได้ว่า 5a เป็นจำนวนที่หารด้วย 5 ลงตัว ดังนั้น 8b + 2 ก็จะต้องเป็นจำนวนที่หารด้วย 5 ลงตัว

แต่เรารู้ว่า จำนวนที่หารด้วย 5 ลงตัวนั้น จะต้องมีหลักหน่วยเป็น 0 หรือ 5

แสดงว่า 8b จะต้องเป็นจำนวนที่หลักหน่วยมีค่าเป็น 3 หรือ 8
จากการท่ิิองสูตรคูณตั้งแต่ 8 หนึ่ง 8, 8 สอง 16 , ... จะพบว่า ไม่มีเลยที่หลักหน่วยลงท้ายด้วย 3
จากการท่ิิองสูตรคูณตั้งแต่ 8 หนึ่ง 8, 8 สอง 16 , ... จะพบว่า มีจำนวนที่หลักหน่วยลงท้ายด้วย 8 ซึ่งก็คือ 8, 48, 88, 128, .... (ใ้้ห้สังเกตว่ามันเพิ่มทีละ 40 ซึ่งเป็น ค.ร.น. ของ 8 กับ 5)
แสดงว่า 8b = 8, 48, 88, 128, ...
หรือ b = 1, 6, 11, 16, ... (ให้สังเกตว่ามันเพิ่มทีละ 5 ซึ่งเป็นสัมประสิทธิ์ของ 5a)

ต่อมาก็มาลองจับสมการ 8b + 5 = 13c + 11 กันบ้าง ก็จะได้ 13c = 8b - 6
จะเห็นว่า 13c หารด้วย 13 ลงตัว ดังนั้น 8b - 6 จะหารด้วย 13 ลงตัวด้วย
ลองนั่งหาค่า b ที่ทำให้ 8b - 6 หารด้วย 13 ลงตัว ก็จะพบว่าจำนวนเต็มบวก b ตัวแรกที่น้อยที่สุด คือ b = 4 (เพราะ 8 คูณ 4 - 6 = 26)

เราก็จะได้ว่า b ที่้เป็นไปได้ตัวต่อๆไป คือ b = 4, 17, 30, .... (เพิ่มทีละ 13 ซึ่งเป็นสัมประสิทธิ์ของ 13b)

สรุปแล้วเราก็จะมีว่า
เมื่อจับสมการ 5a + 3 = 8b + 5 หรือ 5a = 8b + 2 นั้น จะได้ว่า b = 1, 6, 11, 16, ...
ส่วนเมื่อจับสมการ 8b + 5 = 13c + 11 หรือ 13c = 8b - 6 นั้น จะได้ว่า b = 4, 17, 30, ...

b ที่เราต้องการ จะต้องสอดคล้องกับทั้งสองแบบ เมื่อลองแข็งใจสักนิด นั่งเขียนพจน์ถัดไปเรื่อย ก็จะเจอ b ตัวแรกในที่สุด คือ b = 56

b = 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, 56, ...
b = 4, 17, 30, 43, 56, ...

เมื่อรู้ b ตัวน้อยสุดแล้ว ตัวถัดๆไป ก็หาไม่ยาก โดยบวกด้วย ค.ร.น ของ 5 กับ 13 ซึ่งคือ 65 กล่าวคือ b ตัวถัดไป คือ 56 + 65 = 121, 56 + 65 + 65 = 186, ....

แต่โจทย์เขาต้องการ p ที่มากสุด แต่ไม่เกิน 1000 จะพบว่า ถ้าแทน b = 56 ลงใน p = 8b + 5 ก็จะได้ p แค่ 453 แต่ถ้าแทน b = 121 ก็จะได้ว่า p = 8(121) + 5 = 973 ตามที่ต้องการในที่สุด

[au]

ขอบคุณมากครับคุณ gon ทำไมยาวจัง แต่ผมไม่ท้อแท้นะครับ ต้องตั้งใจอ่านอยู่หลายรอบจึงจะเข้าใจดี
ขอถามคุณ gon ดังนี้ (กำลังจะขึ้น ป.4 ครับ)
1. สมการบางชุดทำไมใช้วิธีการแก้สมการขั้นพื้นฐานจึงไม่สามารถหาค่าตัวแปรเหล่านั้นได้ อย่างเช่นสมการของโจทย์ข้อนี้ คือผมพยายามเอาสมการมาบวก ลบ กันเพื่อกำจัดตัวแปรบางตัวออกไป ให้เหลือน้อยที่สุด แต่สุดท้ายสมการนั้นไม่สามารถหาค่าได้ ผมก็มีข้อสังเกตว่าสมการที่หาค่าไม่ได้เหล่านั้นมักมีหลายคำตอบ การจะหาคำตอบจะต้องใช้หลักของการหารลงตัวมาช่วย และดูค่าที่เป็นไปได้ที่สอดคล้องกับสมการเหล่านั้น ถูกต้องไหมครับ
2.ที่คุณ gon อธิบายมา "เราก็จะได้ว่า b ที่้เป็นไปได้ตัวต่อๆไป คือ b = 4, 17, 30, .... (เพิ่มทีละ 13 ซึ่งเป็นสัมประสิทธิ์ของ 13b) " ผมว่า "สัมประสิทธิ์ของ 13b" ต้องเป็น "สัมประสิทธิ์ของ 13c" ใช่หรือเปล่าครับ และวิธีที่คุณ gon อธิบายมาเป็นแบบเด็กประถมที่จะเข้าใจได้ง่ายใช่ไหมครับ แบบผู้ใหญ่มีไหมครับอยากรู้บ้าง
3. จากโจทย์ข้อนี้ คือก่อนหน้าที่จะเขียนเข้ามาถาม ผมลองหา ครน.ของ 5,8,13 = 520 แล้วจะได้
520/5 = 104 520/8 = 65 520/13 = 40 แต่ก็ยังคิดไม่ออกอยู่ดีว่ามันจะมีความสัมพันธ์กับอะไรตรงไหนบ้าง แต่พอมาอ่านวิธีของคุณ gon ก็จะได้ว่ามันคือค่า ครน. ของสัมประสิทธิ์ของสมการแต่ละคู่ คุณ gon ช่วยอธิบายหน่อยได้ไหมครับว่ามันคือค่าอะไร หรือว่าความสัมพันธ์ตรงนี้เป็นทฤษฎีบทอะไรหรือเปล่า
4. วิธีลักไก่ของผมคือ ผมก็เลือกค่าจาก 999 ลดลงมาตามลำดับที่หารด้วย 13 แล้วเหลือเศษ 11 เมื่อได้ค่าใดแล้ว ก็ลองหารด้วย 8 และ 5 ดูด้วยว่าสอดคล้องหรือไม่ หากยังไม่ได้ก็ เอาจำนวนนั้น ลบออกด้วย 13 ทำเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะได้ บังเอิญแค่ 3 ครั้งก็ได้คำตอบ แต่ถ้าเขาบอกว่าให้หาค่าน้อยที่สุดด้วยคงตายแน่ วิธีเด็ก ๆ แบบนี้พอเป็นแนวทางได้ไหมครับ

[gon]

สำหรับคำถาม 1)
สมการที่เขียนมา อาจเรียกว่า สมการเชิงเส้น (linear eqaution) คือ
สมการที่ทุกตัวแปรมีกำลังสูงสุดของตัวแปรเท่ากับ 1 แต่หากสนใจกรณีที่คำตอบเป็นจำนวนเต็ม
อาจจะเรียกชื่อว่านักคณิตศาสตร์ยุคโบราณว่า สมการไดโอแฟนไทน์ (diophantine equation) Diophantine from Mathworld

สมการเชิงเส้น ปกติแล้ว ถ้าจะหาคำตอบเพียง 1 ชุดที่สอดคล้อง จะต้องมีจำนวนตัวแปร เท่ากับจำนวนสมการครับ
เช่น x + y = 3, x - y = 1 อย่างนี้มี 2 สมการ และ ก็ 2 ตัวแปร ก็จะมีคู่อันดับ (x, y) ชุดเดียว คือ (2, 1) เท่านั้นที่สอดคล้อง

ถ้ามีจำนวนตัวแปรมากกว่า จำนวนสมการ โดยทั่วไปคำตอบก็จะมีมากมายนับไม่ถ้วนครับ
เช่น สมการ x + y = 1 ซึ่งมี 2 ตัวแปร แต่ 1 สมการ ก็จะมี (x, y) = (1, 0) , (0, 1) , (1/2, 1/2) , (1/3, 2/3) , ...

สำหรับข้อนี้ มี 4 ตัวแปร แต่ 3 สมการ ดังนั้น โดยทั่วไปแล้วคำตอบก็ควรจะมีจำนวนมากมายนับไม่ถ้วนครับ

สำหรับคำถาม 2) เข้าใจถูกต้องแล้วครับ.
สำหรับคำถาม 3) ตรงนี้คงต้องศึกษาจากหนังสือวิชา ทฤษฎีจำนวน มั้งครับ.

4) ได้ครับ เป็นวิธีหนึ่งที่ดีมากสำหรับข้อนี้ครับ.

สำหรับวิธีคิดแบบอื่น ๆ เดี๋ยวไว้จะมาเขียนให้ดูอีกทีครับ.

[Michael Owen 2]

จริงๆข้อนี้ ใช้ เรื่อง congruence ได้นะคับน้อง
วิธีจะสั้นลง แต่ถ้าน้องดูอาจจะงง เพราะ พี่เดาว่าน้องยังไม่ได้เรียน
(ถ้าเรียน ก้เก่งสุดยอด)
ถ้าน้องอยากดูวิธีก็บอกนะคับ

ถ้าสนใจ เรื่อง congruence หาหนังสืออ่านได้คับ อยู่ใน number theory
หรือถามพี่ก็ได้คับ (อยู่ ม2)

สุดท้ายโดยวิธีนี้ จะได้ว่า
p=520k-67 คับ ได้ 973 เท่ากัน

[au]

-หนังสือเกี่ยวกับ ทฤษฏีจำนวน (Number Theory) ที่พี่ Gon หรือ พี่ Michael Owen 2 บอกน่ะ มีแบบเป็นภาษาไทยหรือเปล่าครับ ถ้าเป็นภาษาอังกฤษ คงไม่ไหวต้องรอให้โตกว่านี้ก่อนครับ ถ้ามีช่วยแนะนำด้วยครับว่าจากสำนักพิมพ์ไหน ใครเป็นผู้แต่ง จะได้บอกให้คุณแม่ไปหาซื้อมาให้ครับ เพราะคุณแม่ไม่ค่อยมีเวลาไปหาซื้อหนังสือบ่อยเท่าไรและก็ไม่ได้เป็นผู้เชี่ยวชาญคณิตศาสตร์หรอกครับ เห็นคุณแม่บอกว่าถ้าเป็นระดับ ม.ปลาย คุณแม่ก็จอดเหมือนกัน
- พี่ Michael Owen 2 ที่บอกว่า P = 520k - 67 = ได้ 973 ถามหน่อยว่า 67 คือค่าอะไรหรือครับ แล้วค่า k จะหาได้อย่างไรล่ะครับ