จำนวนเชิงซ้อนความน่าจะเป็นค่ะ

[คน-อ่อน-เลข]

รบกวนหน่อยนะคะ ขอบคุณมากค่ะ

[gon]

ข้อนี้เป็นโจทย์บ้าพลังหรือเปล่า หรือว่ามีความสวยงามซ่อนอยู่

solutionคร่าวๆ

Note.

$\cos(2\pi/7) + \cos(4\pi/7) + \cos(8\pi/7) = -1/2$

$\sin(2\pi/7) + \sin(4\pi/7) + \sin(8\pi/7) = \sqrt{7}/2$

$z = cis(2k\pi/7) , k = 1, 2, 3, 4, 5, 6$

ถ้า $k = 1, 2, 4$ แล้ว $(z^4+z^2+z+2) = \frac{3 + \sqrt{7}i}{2}$

ถ้า $k = 3, 5, 6$ แล้ว $(z^4+z^2+z+2) = \frac{3 - \sqrt{7}i}{2}$

ดังนั้นที่โจทย์ถามคือ $3[(\frac{3 + \sqrt{7}i}{2})^9 + (\frac{3 - \sqrt{7}i}{2})^9] = \frac{3}{512}[(3 + \sqrt{7}i)^9 + (3 - \sqrt{7}i)^9)]$

ให้ $A = 3 + \sqrt{7}i, B = 3 - \sqrt{7}i$

ดังนั้น $A, B$ เป็นรากของสมการ $x^2 - 6x + 16 = 0$

ให้ $S_n = A^n + B^n$ จะได้ $S_n = 6S_{n-1} - 16S_{n-2}, n \ge 3, S_1 = 6, S_2 = 4$

ดังนั้นคำตอบคือ $\frac{3}{512}S_9$

[Amankris]

ให้ $a=cis\dfrac{2\pi}{7}$ จะได้ว่า $a^6+a^5+a^4+a^3+a^2+a+1=0$

ให้ $w=a^4+a^2+a+2$ จะได้ว่า $\bar w=a^6+a^5+a^3+2$

ดังนั้น $w+\bar w=3$

และ $(w-2)(\bar w-2)=a^6+a^5+a^4+a^3+a^2+a+3=2$

จะได้ว่า $w\cdot\bar w=4$

จาก $w^3+\bar w^3=(w+\bar w)^3-3w\bar w(w+\bar w)=3^3-3\cdot4\cdot3=-9$

ทำให้ $w^9+\bar w^9=(w^3+\bar w^3)^3-3w^3\bar w^3(w^3+\bar w^3)=(-9)^3-3\cdot4^3(-9)=999$

ถ้าสิ่งที่โจทย์ถามไม่นับรวมค่าที่ซ้ำกัน ก็จะได้คำตอบเป็น $w^9+\bar w^9$ (แต่ถ้านับ $z$ ทั้งหกค่าก็ต้องมี $3$ คูณอีกทีครับ)

[คน-อ่อน-เลข]

ขอบคุณมากนะคะ

[Amankris]

ต้องสร้างเอกลักษณ์นี้มาใช้ก่อนครับ

click

ถ้า $x^2=y^2+z^2$ แล้ว $|x-z|+|x+z|=|x-y|+|x+y|$