[สอวน. มอ. หาดใหญ่ 2549] ข้อสอบรอบคัดเลือก

[กิตติ]

ข้อ12
$2-\frac{2}{(x-2)^2}\leqslant \frac{1-x}{2-x} $ จะได้ว่า $x \not=2$
$2-\frac{2}{(x-2)^2}-\frac{x-1}{x-2} \leqslant 0 $
$2(x-2)^2-2-(x-1)(x-2)\leqslant 0$
$x^2-5x+4\leqslant 0$
$(x-4)(x-1)\leqslant 0$
$1\leqslant x \leqslant 4$ และ $x \not=2$

ค่าที่น้อยที่สุดของ $x$ คือ $1$

[กิตติ]

ข้อ7
$3\left|\,x-1\right|-2\left|\,x\right| >2\left|\,3x+1\right| $
พิจารณาตามช่วงของค่า $x$
1. $x \geqslant 1$
$3(x-1)-2x>2(3x+1)$
$x-1>6x+2$
$x<-\frac{3}{5} $
ไม่มีค่า x ที่สอดคล้องกัน
2. $0\leqslant x \leqslant 1$
$-3(x-1)-2x>2(3x+1)$
$-5x+3>6x+2$
$x<\frac{1}{11} $
ได้ค่า xคือ $0 \leqslant x < \frac{1}{11} $
3.$-\frac{1}{3}\leqslant x <0 $
$-3(x-1)+2x>6x+2$
$x<\frac{1}{7} $
ได้ค่า xคือ $-\frac{1}{3}\leqslant x <0$
4.$x<-\frac{1}{3}$
$-3(x-1)+2x>-6x-2$
$x>-1$
ได้ค่า xคือ $-1< x <-\frac{1}{3}$

ได้คำตอบคือ $-1< x < \frac{1}{11}$

[กิตติ]

ข้อ7. แยกกรณีตามเซต $A$
1.$A=\varnothing $
เหลือแค่พิจารณา $B\subset C$
จะได้ว่า $B$ เป็นไปได้ 2 แบบคือมีสมาชิก 1 ตัว กับ 2 ตัว
1.1 เซต Bมีสมาชิก 1 ตัว มีได้ 3 แบบ แต่ละแบบทำให้เกิดเซต Cได้ทั้งหมด 3 แบบ
รวมแล้วได้ทั้งหมด 9 แบบ
1.2 เซต Bมีสมาชิก 2 ตัว มีได้ 3 แบบ แต่ละแบบทำให้เกิดเซต Cได้ทั้งหมด1 แบบ
รวมแล้วได้ทั้งหมด 3 แบบ
กรณีที่ Aเป็นเซตว่างได้ $(A,B,C)$ ทั้งหมด 12 แบบ
2.$A \not= \varnothing $
กรณีจะล็อคให้ $A$ มีสมาชิก 1ตัว , $B$ มีสมาชิก 2ตัว และ $C$ มีสมาชิก 3ตัว
จำนวนที่เกิดขึ้นเท่ากับ $3 \times 2=6$
จำนวนสมาชิกของ $T$ เท่ากับ $18$
วิธีแรกไม่สมบูรณ์เพราะขาดกรณีที่มีบางเซตเท่ากัน

วิธีที่สอง ตามรูปที่แนบ




จะเห็นว่า สมาชิกแต่ละตัวในเซต $S$ เลือกลงได้ 4 ที่คือบริเวณหมายเลข $1,2,3,4$ ลงได้ทั้งหมด $3^4$
แต่หักออกด้วยกรณี
1.ที่ไปลงที่หมายเลข $1$ ทั้งสามเลข ,ที่หมายเลข $2$ ทั้งสามเลข,ที่หมายเลข $3$ ทั้งสามเลขและที่หมายเลข $4$ ทั้งสามเลข
รวมแล้ว 4 แบบ
2.ที่ไปลงที่หมายเลข $1$ ทั้งสองเลข ,ที่หมายเลข $2$ ทั้งสองเลขและที่หมายเลข $3$ ทั้งสองเลขและที่หมายเลข $4$ ทั้งสองเลข
รวมแล้ว $3\times 4\times 3=36$ แบบ
3.กรณีที่ลงที่หมายเลข $4$ ไว้ก่อน 1 ตัวแล้วอีกสองหมายเลขลงแยกกัน
รวมแล้ว $3\times 3\times 2=18$ แบบ
ซึ่งไม่ทำให้เกิดเซตตามเงื่อนไข
ไม่เท่ากันแถมยังรุงรังมากกว่า ขอกลับไปคิดก่อนว่าวิธีไหนมันฟาล์ว

ถ้าถามตามวิธีที่สองจะได้ว่าจำนวนสมาชิกของเซต T คือ $4^3=64$ ไม่ต้องคิดว่าจะลบออกจากกรณีไหน เพราะเราล็อคจากการกำหนดตามรูปแล้ว

[กิตติ]

ข้อ6.
$n^6-1=(n^2-1)(n^4+n^2+1)$
$(n^4+n^2+1)=\frac{n^6-1}{n^2-1}=\frac{(n^3-1)(n^3+1)}{(n-1)(n+1)} $
$=(n^2-n+1)(n^2+n+1)$

$n^4+n^2+1$ เป็นจำนวนเฉพาะเมื่อ
1.$n^2-n+1=1$ หรือ
2.$n^2+n+1=1$

จาก 1 $n(n-1)=0 \rightarrow n=0,-1$
จาก 2 $n(n+1)=0 \rightarrow n=0,1$

โจทย์กำหนดให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้นได้ว่า $n=1$

[benzabababa]

พอจะมีขอสอบเข้าค่ายแรกปี 55 มั้ยครับ