รบกวนช่วยทำ เรื่อง พหุนามหน่อยครับ

[MaTh FoCuS]

กำหนดให้ x y z เป็นจำนวนจริงใด ๆ เเละมีสมบัติดังนี้
1. x+y+z = -1
2. xy+yz+zx = -1

จงหาค่าของ
$\frac{x}{x+1} + \frac{y}{y+1} + \frac{z}{z+1}$

[gon]

มีความรู้เกี่ยวกับทฤษฎีสมการบ้างหรือเปล่าครับ.

[IloveMathPK]

ตอบ $\frac{1}{2}$ ไหมครับ
ให้ $x= 1 , y = -1 , z = -1$
แทนค่าในสมการ $x+y+z = -1$ $=$ $1-1-1 = -1$ จริง
$xy+yz+zx = -1$ $=$ $-1+1-1 = -1$ จริง
$\frac{x}{x+1} + \frac{y}{y+1} + \frac{z}{z+1}$ $=$ $\frac{1}{2}$
เนื่องจาก $\frac{y}{y+1} + \frac{z}{z+1}$ ไม่นิยาม

[polsk133]

$=3-(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1})$

กระจายดูครับ ตอบ 3

[กิตติ]

เพื่อให้ง่ายขึ้น สร้างตัวแปรใหม่เป็น
$x+1=a \rightarrow x=a-1$
$y+1=b \rightarrow y=b-1$
$z+1=c \rightarrow z=c-1$
จะได้ว่า...$a,b,c\not= 0$
ดังนั้น $abc\not= 0$
$\frac{x}{x+1}+ \frac{y}{y+1} +\frac{z}{z+1} $
$=\frac{a-1}{a} +\frac{b-1}{b} +\frac{c-1}{c} $
$=3-\left(\,\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} \right) $

$a+b+c=2$
$xy+yz+xz=-1$
$(a-1)(b-1)+(b-1)(c-1)+(c-1)(a-1)=-1$
$ab+bc+ac-2(a+b+c)+3=-1$
$ab+bc+ac=0$
$abc\left(\,\frac{1}{a}+ \frac{1}{b} +\frac{1}{c} \right) =0$
เนื่องจาก $abc\not= 0$ ดังนั้นจะได้ว่า $\frac{1}{a}+ \frac{1}{b} +\frac{1}{c}=0$

$\frac{x}{x+1}+ \frac{y}{y+1} +\frac{z}{z+1} $
$=3-\left(\,\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} \right) $
$=3$

[IloveMathPK]

ยังไงครับ ช่วยเฉลยหน่อยได้ไหมครับ

[กิตติ]

#6 ผมว่าที่ทำให้ดูละเอียดแล้วนะ ลองอ่านไล่ดูช้าๆก็ได้ครับ

[IloveMathPK]

อ่อ ขอโทษครับ ตอนโพสต์#6 คอมผมยังไม่ขึ้นเลยครับ เพิ่งเห็นครับ ขอบคุณครับๆ