Hojoo lee ครับ

[Beatmania]

อยากทราบ best solution ของสมการนี้ครับ

$$(ab+bc+ca)(\frac{1}{(a+b)^2} +\frac{1}{(b+c)^2} +\frac{1}{(c+a)^2} )\geqslant \frac{9}{4} $$

พอดีเห็นในหนังสือมีวิธีถึกอ่ะครับ สุดยอดนักอสมการช่วยไขข้อข้องใจหน่อยครับ

[nooonuii]

ผมยังไม่เคยเห็นวิธีพิสูจน์โจทย์ข้อนี้ที่ถูกใจเลยซักวิธีเดียวครับ

ในนี้ให้ไว้ $3$ วิธี แต่ก็ยังหนีไม่พ้นถึกอยู่ดี

Iran 1996

[จูกัดเหลียง]

ให้ $ab+bc+ca=3$ ได้ว่าต้องการเเสดง $$\frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(c+a)^2}=\frac{(a^2+3)^2+(b^2+3)^2+(c^2+3)^2}{[(a+b)(b+c)(c+a)]^2}\ge \frac{3}{4}$$
เเละใช้ $p,q,r$method กระจาย( อยู่ดีครับ = = )
เหลือเพียงเเสดงว่า $4p^4-51p^2+34pr-3r^2+36\ge 0$เเต่ $4p^4-51p^2+34pr-3r^2+36=4p^4-51p^2+33pr+36+r(p-3r)\ge p^4-21p^2+108=(p-3)(p^2+3p-12)\ge 0$

[Pain 7th]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

ให้ $ab+bc+ca=3$ ได้ว่าต้องการเเสดง $$\frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(c+a)^2}=\frac{(a^2+3)^2+(b^2+3)^2+(c^2+3)^2}{[(a+b)(b+c)(c+a)]^2}\ge \frac{3}{4}$$
เเละใช้ $p,q,r$method กระจาย( อยู่ดีครับ = = )
เหลือเพียงเเสดงว่า $4p^4-51p^2+34pr-3r^2+36\ge 0$เเต่ $4p^4-51p^2+34pr-3r^2+36=4p^4-51p^2+33pr+36+r(p-3r)\ge p^4-21p^2+108=(p-3)(p^2+3p-12)\ge 0$

โหดมากอ่ะครับ

[kongp]

ปัญหานี้มีประโยชน์อะไรครับ