อสมการน่าสนใจ

[cardinopolynomial]

$\frac{3}{2}<\frac{4a+b}{a+4b}+\frac{4b+c}{b+4c}+\frac{4c+a}{c+4a}<9$

โจทย์จากหนังสือ Zenith

[Beatmania]

มาช่วยเติมโจทย์ให้ครับ

1. ถ้า $x+y+z=0$

$$\frac{x^2}{y^2} +\frac{y^2}{z^2} +\frac{z^2}{x^2} \geqslant 5$$

(ข้อนี้ต้องยกเครดิตให้ท่าน noonuiii ครับ เอามาให้ผมทำ)

2. ให้ $a,b,c,d >0$

$$[\frac{a}{a+b} ]^2+[\frac{b}{b+c} ]^2+[\frac{c}{c+d} ]^2+[\frac{d}{d+a} ]^2 \geqslant 1$$

[polsk133]

ของอ่อนเลย

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania

2. ให้ $a,b,c,d >0$

$$[\frac{a}{a+b} ]^2+[\frac{b}{b+c} ]^2+[\frac{c}{c+d} ]^2+[\frac{d}{d+a} ]^2 \geqslant 1$$

เปลี่ยนให้ $\dfrac{b}{a}=\dfrac{xy}{z^2},\dfrac{c}{b}=\dfrac{yz}{w^2},\dfrac{d}{c}=\dfrac{zw}{x^2},\dfrac{a}{d}=\dfrac{wx}{y^2}$
จึงกลายเป็นต้องการพิสูจน์
$$\frac{x^4}{(x^2+zw)^2}+\frac{y^4}{(y^2+xw)^2}+\frac{z^4}{(z^2+xy)^2}+\frac{w^4}{(w^2+yz)^2}\ge 1$$
โดย Cauchy ได้ว่า $$LHS.\ge \frac{(x^2+y^2+z^2+w^2)^2}{x^4+y^4+z^4+w^4+2(x^2zw+xy^2w+xyz^2+yzw^2)+x^2y^2+y^2z^2+z^2w^2+w^2x^2}$$
อสมการจึงเป็นจริงเมื่อ $x^2y^2+y^2z^2+z^2w^2+w^2x^2+2(z^2x^2+y^2w^2 )\ge 2(x^2zw+xy^2w+xyz^2+yzw^2)$
ซึ่งจริงจาก AM.-GM. จาก $$x^2(z^2+w^2)+y^2(x^2+w^2)+z^2(x^2+y^2)+w^2(y^2+z^2)\ge 2(x^2zw+xy^2w+xyz^2+yzw^2)$$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania

มาช่วยเติมโจทย์ให้ครับ

1. ถ้า $x+y+z=0$

$$\frac{x^2}{y^2} +\frac{y^2}{z^2} +\frac{z^2}{x^2} \geqslant 5$$

(ข้อนี้ต้องยกเครดิตให้ท่าน noonuiii ครับ เอามาให้ผมทำ)

อันนี้ผมใช้สูตรโกง Wolfram เพราะเเยกได้ยากมาก 555+(ถ้าใช้หัวเเยกคงไม่ได้เป็นเเน่เเท้)
assume $x,y>0$ ได้ $z<0$ เเละให้ $a=x/y>0$ เราจะเหลือเพียงเเสดงว่า
$$a^2+\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{2}{a}+\frac{1}{a^2}\ge 4\leftrightarrow a(a^3+a^2-2a-1)^2\ge 0$$

[Keehlzver]

$(x,y,z=a-b,b-c,c-a)$
ได้ $x+y+z=0$

$$\frac{(a-b)^2}{(b-c)^2}+\frac{(b-c)^2}{(c-a)^2}+\frac{(c-a)^2}{(a-b)^2}=5+(1+\frac{a-b}{b-c}+\frac{b-c}{c-a}+\frac{c-a}{a-b})^2 \geq 5$$

[Pain 7th]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

$(x,y,z=a-b,b-c,c-a)$
ได้ $x+y+z=0$

$$\frac{(a-b)^2}{(b-c)^2}+\frac{(b-c)^2}{(c-a)^2}+\frac{(c-a)^2}{(a-b)^2}=5+(1+\frac{a-b}{b-c}+\frac{b-c}{c-a}+\frac{c-a}{a-b})^2 \geq 5$$

คาราวะ 10 จอกครับ

[Beatmania]

ของผม ข้อแรก ทำให้เป็น

$$(\frac{1}{1+\frac{b}{a} } )^2+(\frac{1}{1+\frac{c}{b} } )^2+(\frac{1}{1+\frac{d}{c} } )^2+(\frac{1}{1+\frac{a}{d} } )^2\geqslant 1$$

มันก็จะเป็น China TST 2005 เลยครับ

ข้อสอง (คล้ายๆของพี่ Keehlzver)

ให้ $\frac{a}{b} =x, \frac{b}{c} =y,\frac{c}{a} =z$

ชัดเจนว่า $xyz=1$

และผมจะเสกเอกลักษณ์นี้ครับ

$$(x+1)(y+1)(z+1)=(\frac{a}{b} +1)(\frac{b}{c} +1)(\frac{c}{a} +1) = \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc} =\frac{(-c)(-b)(-a)}{abc} =-1$$

$xyz+xy+yz+zx+x+y+z+1=-1$

$1+1+1+xy+yz+zx+x+y+z=0$

$$LHS=x^2+y^2+z^2=x^2+y^2+z^2+6+2xy+2yz+2zx+2x+2y+2z=(x+y+z+1)^2+5\geqslant 5$$