โจทย์อสมการ 2 ข้อฝากช่วยคิดครับ

[Yo WMU]

ข้อ 1 ถ้า 2x + 4y = 1 และ $ a\leqslant 0.25 แล้ว $
จงหาจำนวนจริง a ที่ใหญ่ที่สุดที่ทำให้อสมการ $ x^2 + y^2 \geqslant a เป็นจริง $

ข้อ 2 ถ้า 3x + y = 1 และ $ a\leqslant 0.25 $ แล้ว จำนวนจริง a ที่ใหญ่ที่สุดที่ทำให้อสมการ
$x^2 - y^2 \leqslant a เป็นจริงมีค่าเท่าใด $

[Yo WMU]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ แฟร์

ข้อ 2.
3x + y = 1
y = 1 - 3x

(x^2) - (y^2) = (x^2) - ((1-3x)^2) = f(x)

f ' (x) = 0 = 2x - 2(1-3x)(-3) = 2x + 6 - 18x = -16x + 6
-6 = -16x
6 = 16x
x = 6/16 = 3/8

f(3/8) = 1/8 = 0.125

เงื่อนไขโจทย์ a <= 0.25
ตอบ Max a = 0.25

ขอบคุณคร้าบ

[gnap]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ แฟร์

ข้อ 2.
3x + y = 1
y = 1 - 3x

(x^2) - (y^2) = (x^2) - ((1-3x)^2) = f(x)

f ' (x) = 0 = 2x - 2(1-3x)(-3) = 2x + 6 - 18x = -16x + 6
-6 = -16x
6 = 16x
x = 6/16 = 3/8

f(3/8) = 1/8 = 0.125

เงื่อนไขโจทย์ a <= 0.25
ตอบ Max a = 0.25

อ้าว ไม่ใช่ 0.125 หรือครับ?
ถ้าผิดประทานโทษฮะ

[gnap]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ แฟร์

ข้อ 2.
ถ้า 3x + y = 1 แล้ว (x^2) - (y^2) <= 100,000,000
ข้อความนี้ ก็ยังเป็นจริง

ค่า a ที่เป็นไปได้อยู่ในช่วง [ 0.125 , อินฟินิตี้ )
แต่โจทย์กำหนดให้ a <= 0.25
ดังนั้น ต้องตอบ Max a = 0.25

คือ สมการนี้จะทำให้มีคำตอบที่เป็นค่าที่ผิด
ดังนั้นจะใช้ค่านี้ไม่ได้
ต้องใช้ 1.25 ครับ
(ตามที่ผมเข้าใจนะ)

[กิตติ]

ข้อแรก ผมคุ้นๆว่าจะมีคนเคยถามแล้วในห้องม.ปลาย ผมตอบโดยใช้เรื่องของเรขาคณิตวิเคราะห์ ผมแปลง $x^2+y^2 \geqslant a$ เป็นสมการของวงกลม จะได้ว่าค่า $\sqrt{a}$ ที่น้อยที่สุดนั้นคือรัศมีของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิดแล้วสัมผัสกับเส้นตรง $2x+4y=1$ จะได้ว่ารัศมีวงกลมคือค่าของ $\sqrt{a} $ จะได้ว่า
$\sqrt{a}=\frac{\left|\,2(0)+4(0)-1\right|}{\sqrt{2^2+4^2} } $
$=\frac{1}{\sqrt{20} } $

จะได้ว่า $a=\frac{1}{20} =0.05$

โทษทีครับ ผมวาดภาพผ่านโปรแกรมไม่เป็น และลองใช้Paintในวินโดว์แล้วมันใช้ดูอะไรไม่ออกเลย

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Yo WMU

ข้อ 2 ถ้า 3x + y = 1 และ $ a\leqslant 0.25 $ แล้ว จำนวนจริง a ที่ใหญ่ที่สุดที่ทำให้อสมการ
$x^2 - y^2 \leqslant a เป็นจริงมีค่าเท่าใด $

ข้อสองคิดแบบม.ต้นใช้สมการกำลังสองก็พอไหว

$y=1-3x$ นำไปแทนใน
$x^2 - y^2 \leqslant a$
$x^2-(1-3x)^2 \leqslant a$
$x^2-1+6x-9x^2 \leqslant a$
$8x^2-6x+(1+a) \geqslant 0$
พิจารณา
$8x^2-6x+(1+a) = 0$
สมการกำลังสองนี้จะหาคำตอบไม่ได้ เมื่อ $6^2-4(8)(1+a)<0$
พิจารณา $x^2 - y^2 = a$ เป็นสมการไฮเปอร์โบลาแบบตะแคงซ้ายขวา
$x^2 - y^2 \leqslant a $ เป็นพื้นที่ระหว่างแต่ละข้างของไฮเปอร์โบลา หมายความว่า เส้นตรง $3x + y = 1$ ต้องไม่ตัดกับไฮเปอร์โบลา
$6^2-4(8)(1+a)<0$
$36-32-32a<0$
$a>\frac{1}{8} $
$a>0.125$
นำไปพิจารณาเช่นเดียวกับที่เฉลยกัน จะได้ว่า $a=0.25$

[gnap]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ข้อสองคิดแบบม.ต้นใช้สมการกำลังสองก็พอไหว

$y=1-3x$ นำไปแทนใน
$x^2 - y^2 \leqslant a$
$x^2-(1-3x)^2 \leqslant a$
$x^2-1+6x-9x^2 \leqslant a$
$8x^2-6x+(1+a) \geqslant 0$
พิจารณา
$8x^2-6x+(1+a) = 0$
สมการกำลังสองนี้จะหาคำตอบไม่ได้ เมื่อ $6^2-4(8)(1+a)<0$
พิจารณา $x^2 - y^2 = a$ เป็นสมการไฮเปอร์โบลาแบบตะแคงซ้ายขวา
$x^2 - y^2 \leqslant a $ เป็นพื้นที่ระหว่างแต่ละข้างของไฮเปอร์โบลา หมายความว่า เส้นตรง $3x + y = 1$ ต้องไม่ตัดกับไฮเปอร์โบลา
$6^2-4(8)(1+a)<0$
$36-32-32a<0$
$a>\frac{1}{8} $
$a>0.125$
นำไปพิจารณาเช่นเดียวกับที่เฉลยกัน จะได้ว่า $a=0.25$

อ่อ เข้าใจแล้วครับ
ผมเข้าใจผิด
ขอโทษด้วยครับ