ช่วยพิสูจน์อสมการหน่อยครับ

[StrikeFreedom]

ช่วยรบกวนพิสูจน์ให้ดูหน่อยได้มั้ยครับ ไม่แน่ใจว่าโจทย์ผิดหรือผมไม่มีความสามารถพอ

$\forall\ n\geqslant 3 $ , $2^{n}>2n$

ขอแสดงเป็นการพิสูจน์แบบอุปนัยนะครับ ขอบคุณครับ

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

$2^n>2n$
$2^{n+1}>2n(2)=2n+2n>2n+2>2(n+1)$

[StrikeFreedom]

ไม่เข้าใจอันนี้อ่ะครับ $2n+2n > 2n+2 > 2(n+1)$

เพราะผมต้องเขียนอธิบายอ่ะครับ ไม่ทราบว่่าตรงส่วนนี้มีที่มาอย่างไร อธิบายหน่ิอยได้มั้ยครับ
ขอบคุณมากครับ

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

จงแสดงว่า $\forall\ n\geqslant 3 $ , $2^{n}>2n$

พิสูจน์

ให้ P(n) แทนข้อความ $2^{n}>2n$ สำหรับทุก $n\geqslant 3$

สมมติให้ P(n) เป็นจริง (จะแสดงว่า P(n+1) เป็นจริงก็คือ จะแสดงว่า $2^{n+1}>2(n+1)$)

$$2^{n}>2n$$
คูณ 2 ตลอดอสมการ
$$2^{n+1}>2n(2)=4n$$
เนื่องจาก $n\geqslant 3$ จะได้ว่า

$n>1$

$2n>2$

$4n>2n+2$

ดังนั้น $$2^{n+1}>2n(2)=4n>2n+2=2(n+1)$$

$\therefore 2^{n+1}>2(n+1)$

P(n+1) เป็นจริง

จากการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์สามารถสรุปได้ว่า P(n) เป็นจริงสำหรับทุก $n\geqslant 3 $

[StrikeFreedom]

ขอบคุณมากนะครับ ผมไม่ได้สังเกต n>=3 เลย แย่จัง