ข้อสอบอสมการสอวน.ค่าย 1 part 1

[ปากกาเซียน]

ช่วยหน่อยครับ

[Beatmania]

1.เอกลักษณ์พีชคณิตครับ (ข้อนี้สวยพอควรครับ )

2.เอกลักษณ์พีชคณิตครับ (ข้อนี้ก็สวยพอควรครับ)

[Form]

ปี 54 ใช่เปล่าครับ ?
มีคนเฉลยไว้ในกระทู็ปักหมุดหมวดโอลิมปิคครับ

[nooonuii]

โจทย์ที่เอามาถามเกินครึ่งหนึ่งมีคนเฉลยไว้แล้วครับ โดยเฉพาะของศูนย์สวนกุหลาบจะต้องมีการนำมาให้เฉลยกันทุกปี

ลองค้นจากกระทู้เก่าห้องข้อสอบโอลิมปิกก็น่าจะเจอครับ

[polsk133]

ลองหากระทู้ที่ผมเคยสร้างอะครับ มีเฉลย

[ปากกาเซียน]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

ลองหากระทู้ที่ผมเคยสร้างอะครับ มีเฉลย

เมือสักครู่ผมไปหาแล้วแต่ไม่เจอครับ

[polsk133]

ผมก็หาไม่เจอ สงสัยโดนลบแล้วอะครับเพราะมันแยกมาจากกระทู้ปักหมุด

[Euler-Fermat]

1.$$\sum_{cyc} \dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2} =\sum_{cyc} a - \dfrac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}$$

ต่อเลยครับน่าจะได้แล้วนะครับ

[Euler-Fermat]

2. $$ \sum_{cyc} \dfrac{1}{\sqrt{b+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{2}}}$$
$$\sum_{cyc} \dfrac{\sqrt{2a}}{\sqrt{2ab+a+2}} = \sqrt{2}\sum_{cyc} \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{2ab+a+2}}$$
$$\sum_{cyc} \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{2ab+a+2}} = \sum_{cyc} \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{2ab+a+2abc}} (\because abc = 1)$$
$$\sum_{cyc} \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{2ab+a+2}} = \sum_{cyc} \dfrac{1}{\sqrt{2b+2c+1}} $$
จาก A.M - G.M
$$\dfrac{1}{\sqrt{2b+2c+1}} \geqslant \dfrac{1}{b+c+1} $$
ซึ่ง
$$\sum_{cyc}\dfrac{1}{b+c+1} \leqslant 1 (เมื่อ abc \geqslant 1)$$
ผมต่อไงดี ?? ไปไม่ถูก

[จูกัดเหลียง]

#9 ทดผิดไปนิดนึงครับ จริงๆอสมการสุดท้ายที่เราต้องเเสดงเป็น
$$\sum_{cyc} \frac{1}{b+bc+1}\ge 1$$
เเล้วเปลี่ยน $a=x/y,b=y/z,c=z/x$ จะกลายเป็น
$$\sum_{cyc} \frac{1}{b+bc+1}=\sum_{cyc} \frac{xy}{xy+yz+zx}=1\ge 1$$
ซึ่งก็สวยจริงๆเเหละครับ

[ปากกาเซียน]

ข้อสามผมยังทำไม่ได้เลยครับ

[Euler-Fermat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

#9 ทดผิดไปนิดนึงครับ จริงๆอสมการสุดท้ายที่เราต้องเเสดงเป็น
$$\sum_{cyc} \frac{1}{b+bc+1}\ge 1$$
เเล้วเปลี่ยน $a=x/y,b=y/z,c=z/x$ จะกลายเป็น
$$\sum_{cyc} \frac{1}{b+bc+1}=\sum_{cyc} \frac{xy}{xy+yz+zx}=1\ge 1$$
ซึ่งก็สวยจริงๆเเหละครับ

ขอบคุณครับ ผมทดผิดผมแก้นานเลย

[Pain 7th]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ปากกาเซียน

ข้อสามผมยังทำไม่ได้เลยครับ

ข้อนี้ ทำอะไรก็ตกขอบไปหมดเลยอ่ะครับ เหมือนข้อของคุณ Keehlzver เลยครับ

C l i c k

ใช้ p,q,r method + AM-GM หลังจากนั้นดู Schur's inequalities มันจะออกมาตอนจบพอดีครับ

[cardinopolynomial]

$L.H.S.=\sqrt{[(x^2+y^2+z^2)+(xy+yz+zx)]^2}$

$=\sqrt{(x^4+y^4+z^4)+2(x^3y+x^3z+yx^3+y^3z+z^3x+z^3y)+3(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+4(x^2yz+xy^2z+xyz^2)}$

จาก Cauchy

$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\leqslant\sqrt{x^4+y^4+z^4} \sqrt{y^4+z^4+x^4}$

$\sqrt{(x^4+y^4+z^4)+2(x^3y+x^3z+yx^3+y^3z+z^3x+z^3y)+3(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+4(x^2yz+xy^2z+xyz^2)}\geqslant \sqrt{2(x^3y+x^3z+y^3x+y^3z+z^3x+z^3y)+4(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+4xyz(x+y+z)}$

$\sqrt{2(x^3y+x^3z+y^3x+y^3z+z^3x+z^3y)+4(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+4xyz(x+y+z)}
=\sqrt{2(x+y+z)(xy^2+xz^2+yx^2+yz^2+zx^2+zy^2)}$

$L.H.S.\geqslant \sqrt{2}(x\sqrt{y^2+z^2}+y\sqrt{z^2+x^2}+z\sqrt{x^2+y^2})$

ใครมีวิธีดีกว่านี้บอกด้วยน่ะครับ

[ปากกาเซียน]

p q r method ?????