โจทย์อสมการ สอวน.ค่าย1 ปีล่าสุด

[jean merin]

ข้อนี้ คิดยังไงก็คิดไม่ออกอะค่ะ ทำ backward แล้วเครื่องหมายกลับข้างทุกที วานพี่ๆช่วยพิสูจน์หน่อยค่ะ

กำหนดให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก $x_1,x_2,...x_n$ เป็นจำนวนจริงบวก และ $x_1x_2...x_n=1$
จงพิสูจน์ว่า

$$\frac{1}{n-1+x_1}+\frac{1}{n-1+x_2}+...+\frac{1}{n-1+x_n}\leqslant 1$$

[TU Gifted Math#10]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ jean merin

กำหนดให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก $x_1,x_2,...x_n$ เป็นจำนวนจริงบวก และ $x_1x_2...x_n=1$
จงพิสูจน์ว่า

$$\frac{1}{n-1+x_1}+\frac{1}{n-1+x_2}+...+\frac{1}{n-1+x_n}\leqslant 1$$

อสมการที่ต้องการพิสูจน์สมมูลกับ $$\frac{x_1}{n-1+x_1}+\frac{x_2}{n-1+x_2}+...+\frac{x_n}{n-1+x_n}\geqslant 1$$
โดยอสมการโคชี $$(\frac{x_1}{n-1+x_1}+\frac{x_2}{n-1+x_2}+...+\frac{x_n}{n-1+x_n})((n-1+x_1)+(n-1+x_2)+...+(n-1+x_n))\geq (\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+...+\sqrt{x_n})^2$$
ดังนั้นเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า$$ (\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+...+\sqrt{x_n})^2\geq ((n-1+x_1)+(n-1+x_2)+...+(n-1+x_n))$$
กระจายออกมา สมมูลกับ $$x_1+x_2+...+x_n+2\sum_{1\leq i < j\leq n}{\sqrt{x_ix_j}}\geq n(n-1)+(x_1+x_2+...+x_n)$$
สมมูลกับ $$2\sum_{1\leq i < j\leq n}{\sqrt{x_ix_j}}\geq n(n-1)$$
ซึ่งเป็นจริงจากอสมการ A.M-G.M

QED

[jean merin]

ขอบคุณค่ะ แต่...ตอนสุดท้าย เครื่องหมายกลับข้างหรือเปล่าคะ??

[Keehlzver]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TU Gifted Math#10

อสมการที่ต้องการพิสูจน์สมมูลกับ $$\frac{x_1}{n-1+x_1}+\frac{x_2}{n-1+x_2}+...+\frac{x_n}{n-1+x_n}\leqslant 1$$
โดยอสมการโคชี $$(\frac{x_1}{n-1+x_1}+\frac{x_2}{n-1+x_2}+...+\frac{x_n}{n-1+x_n})((n-1+x_1)+(n-1+x_2)+...+(n-1+x_n))\geq (\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+...+\sqrt{x_n})^2$$
ดังนั้นเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า$$ (\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+...+\sqrt{x_n})^2\geq ((n-1+x_1)+(n-1+x_2)+...+(n-1+x_n))$$
กระจายออกมา สมมูลกับ $$x_1+x_2+...+x_n+2\sum_{1\leq i < j\leq n}{\sqrt{x_ix_j}}\geq n(n-1)+(x_1+x_2+...+x_n)$$
สมมูลกับ $$2\sum_{1\leq i < j\leq n}{\sqrt{x_ix_j}}\geq n(n-1)$$
ซึ่งเป็นจริงจากอสมการ A.M-G.M

QED

สมมูลกันยังไงครับ??
บทพิสูจน์ที่เขียนมา สำหรับ $\frac{x_1}{n-1+x_1}+\frac{x_2}{n-1+x_2}+...+\frac{x_n}{n-1+x_n}\geq 1$
ใช่ไหมครับ
ผมไม่เข้าใจว่ามันช่วยในการพิสูจน์
$\frac{1}{n-1+x_1}+\frac{1}{n-1+x_2}+...+\frac{1}{n-1+x_n}\leq 1$
ได้ยังไง

อสมการ $\frac{1}{n-1+x_1}+\frac{1}{n-1+x_2}+...+\frac{1}{n-1+x_n}\leq 1$
สมมูลกับอสมการ $\frac{x_1}{n-1+x_1}+\frac{x_2}{n-1+x_2}+...+\frac{x_n}{n-1+x_n}+\frac{n-2}{n-1+x_1}+\frac{n-2}{n-1+x_2}+...+\frac{n-2}{n-1+x_n}\geq n-1$

[TU Gifted Math#10]

$$\frac{1}{n-1+x_1}+\frac{1}{n-1+x_2}+...+\frac{1}{n-1+x_n}\leq 1$$ $$\leftrightarrow \frac{n-1}{n-1+x_1}+\frac{n-1}{n-1+x_2}+...+\frac{n-1}{n-1+x_n}\leq n-1$$ $$\leftrightarrow (1- \frac{n-1}{n-1+x_1})+(1-\frac{n-1}{n-1+x_2})+...+(1-\frac{n-1}{n-1+x_n})\geq n-(n-1)$$ $$\leftrightarrow \frac{x_1}{n-1+x_1}+\frac{x_2}{n-1+x_2}+...+\frac{x_n}{n-1+x_n}\geq 1$$

[Keehlzver]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TU Gifted Math#10

$$\frac{1}{n-1+x_1}+\frac{1}{n-1+x_2}+...+\frac{1}{n-1+x_n}\leq 1$$ $$\leftrightarrow \frac{n-1}{n-1+x_1}+\frac{n-1}{n-1+x_2}+...+\frac{n-1}{n-1+x_n}\leq n-1$$ $$\leftrightarrow (1- \frac{n-1}{n-1+x_1})+(1-\frac{n-1}{n-1+x_2})+...+(1-\frac{n-1}{n-1+x_n})\geq n-(n-1)$$ $$\leftrightarrow \frac{x_1}{n-1+x_1}+\frac{x_2}{n-1+x_2}+...+\frac{x_n}{n-1+x_n}\geq 1$$

เคลียร์แล้วครับ ขอบคุณมากครับ

[polsk133]

สุดยอดครับ เคลียด้วยคน

[cardinopolynomial]

ขอเสนออีกวิธีครับ

$\frac{1}{n-1+x_1}+\frac{1}{n-1+x_2}+...+\frac{1}{n-1+x_n}\leq 1$

จาก AM-HM

$\frac{1}{n-1+x_1}+\frac{1}{n-1+x_2}+...+\frac{1}{n-1+x_n}\leq \frac{n^2}{n^2-n+(x_1+...+x_n)} $

จาก AM-GM

$\frac{n^2}{n^2-n+(x_1+...+x_n)}\leq\frac{n^2}{n^2-n+n}=1 $

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ cardinopolynomial

จาก AM-HM

$\frac{1}{n-1+x_1}+\frac{1}{n-1+x_2}+...+\frac{1}{n-1+x_n}\leq \frac{n^2}{n^2-n+(x_1+...+x_n)} $

อสมการกลับข้างครับ

[jean merin]

ขอบคุณมากๆค่ะ

[Form]

ไม่เสียดายที่ทำข้อนี้ไม่ได้ 555+ (เพราะอ่านเฉลยรอบแรกแล้วยังไม่เข้าใจ)

[tonklaZolo]

1.ให้$\Delta ABC$ is a right triangle. Show that $R\geqslant (1+\sqrt{2})r$
2.$x,y,z>0$ Show that $\frac{x^8+y^8+z^8}{(xyz)^3}\geqslant \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

[Thgx0312555]

ข้อสองก่อนข้อแรกเดี๋ยวไปวาดรูป )
คิดว่า $x,y,z>0$ เหมือนกรณีเป็นลบจะไม่เป็นจริง
โดยอสมการ Holder
$(\dfrac{x^5}{y^3z^3}+\dfrac{y^5}{z^3x^3}+\dfrac{z^5}{x^3y^3})^2(\dfrac{y^5}{z^3x^3}+\dfrac{z^5}{x^3y^3}+\dfrac{x^5}{y^3z^3})^3( \dfrac{z^5}{x^3y^3}+\dfrac{x^5}{y^3z^3}+\dfrac{y^5}{z^3x^3})^3 \ge (\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})^8$
$\dfrac{x^5}{y^3z^3}+\dfrac{y^5}{z^3x^3}+\dfrac{z^5}{x^3y^3} \ge \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}$

หมายเหตุ ข้อนี้ใช้ cauchy หรือ weight AM-GM ก็ได้

[Thgx0312555]

$r$ เป็นรัศมีวงกลมแนบใน, $R$ เป็นรัศมีวงกลมล้อมรอบ
จากรูป $A,B,C$ เป็นจุดยอดของสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งมีมุม $A$ เป็นมุมฉาก
ให้มุม $B$ มีขนาด $x$
$I$ เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมแนบใน ลากเส้นตรงจากจุด $I$ มาตั้งฉาก $AB$ ที่ $F$
$D$ เป็นจุดปลายส่วนสูงซึ่งลากจาก $A$
$E$ เป็นจุดที่เส้นแบ่งครึ่งมุม $A$ ตัดกับ $BC$ จะได้ $I$ อยู่บน $AE$ ด้วย
$M$ เป็นจุดกึ่งกลางของส่วนของของเส้นตรง $BC$

จากการไล่มุม
$\angle DAM=|90-2x|$
$\angle EAM=|45-x|$
$\angle DAM\ge\angle EAM$
$\therefore AM \ge AE$

$R=AM$
$\ge AE$
$= AI+IE$
$\ge AI+IF$
$=(\sqrt{2}+1)r$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tonklaZolo

2.$x,y,z>0$ Show that $\frac{x^8+y^8+z^8}{(xyz)^3}\geqslant \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

normalize โดยให้ $xyz=1$

จะต้องพิสูจน์ว่า

$x^8+y^8+z^8\geq xy+yz+zx$

แต่ $x^8+y^8+z^8 \geq x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx$