ช่วยหา ข้อผิดพลาดจากการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่พบกันบ่อย

[กะทิบูด]

คือ ผมต้องการรวบรวม ข้อผิดพลาดจากการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่พบกันบ่อย

เพื่อนำไปสอนน้องๆ ในค่ายคณิตศาสตร์ที่พวกผมกำลังจะจัดทำขึ้นครับ

ตัวอย่างเช่น

ให้ a = b
a^2 = ab (คูณ a ทั้งสองข้าง)
a^2-b^2 = ab-b^2 (บวก -b^2 ทั้งสองข้าง)
(a-b)(a+b) = (a-b)b
a+b = b
2b = b (แทนค่า a ด้วย b)
2 = 1

ถ้ามองผ่านๆ จะเหมือนจะถูก แต่คำตอบสุดท้ายนั้นผิด

อย่างโจทย์ข้อนี้เป็นต้นที่ เด็กๆ หลายคนหาข้อผิดพลาด และอธิบายไม่ได้

ถ้าใคร มี โจทย์ หรือ วิธีนำเสนอโจทย์สไตล์นี้

เพื่อรวบรวมไปสอนน้องๆนะครับ

ขอบคุณครับ

[poper]

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$
$$\frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1$$
$$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}...........(1)$$
$$\frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1$$
$$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}.........(2)$$
$$(1)\div(2):\frac{a-b}{a+b}=\frac{c-d}{c+d}$$
$$(a-b)(c+d)=(a+b)(c-d)$$
$$ac-bc+ad-bd=ac+bc-ad-bd$$
$$(ad-bc)=-(ad-bc)$$
$$1=-1$$

[poper]

ให้ $$x-1=2.............(1)$$
$$(x-1)(x-5)=2(x-5)$$
$$x^2-6x+5=2x-10$$
$$x^2-6x+5-(x-7)=2x-10-(x-7)$$
$$x^2-7x+12=x-3$$
$$(x-4)(x-3)=x-3$$
$$x-4=1$$
$$x=5$$
แทนค่า $x=5$ ใน $(1)$
$$5-1=2$$
$$4=2$$

[poper]

$$4-10=9-15$$
$$4-10+\frac{25}{4}=9-15+\frac{25}{4}$$
$${(2-\frac{5}{2})}^2={(3-\frac{5}{2})}^2$$
$$2-\frac{5}{2}=3-\frac{5}{2}$$
$$2=3$$

[poper]

$${(-1)}^{\frac{2}{2}}={(-1)}^1=-1$$
$${(-1)}^{\frac{2}{2}}={[{(-1)}^2]}^{\frac{1}{2}}={(1)}^{\frac{1}{2}}=1$$
$$-1=1$$

[กะทิบูด]

ขอบคุณ มากครับ

[kongp]

คุณกะทิบูด คุณงงซะแล้วมั้ง โจทย์ที่คุณให้ในช่วงแรกมันไม่สมบูรณ์ เพราะ ไม่ได้กำหนดให้ a-b ไม่เท่ากับศูนย์ด้วย ในขั้นตอนที่ 3 ผลมันก็ออกมาผิด
เพราะการหารด้วยศูนย์ไม่มีนิยาม

ทำใหม่ ให้ a = b และ a,b != 0 แล้ว
a = a , b = b

คำตอบ คือ 1 = 1 นี่คือสเต็ปที่ถูกต้อง

หรือใครอาจจะมีความเห็นอื่นก็ได้ครับ

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

$$4-10=9-15$$
$$4-10+\frac{25}{4}=9-15+\frac{25}{4}$$
$${(2-\frac{5}{2})}^2={(3-\frac{5}{2})}^2$$
$$2-\frac{5}{2}=3-\frac{5}{2}$$
$$2=3$$

ผิดตรงที่ ถอดรากมาต้องติดค่าสัมบูรณ์ครับ

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

ให้ $$x-1=2.............(1)$$
$$(x-1)(x-5)=2(x-5)$$
$$x^2-6x+5=2x-10$$
$$x^2-6x+5-(x-7)=2x-10-(x-7)$$
$$x^2-7x+12=x-3$$
$$(x-4)(x-3)=x-3$$
$$x-4=1$$
$$x=5$$
แทนค่า $x=5$ ใน $(1)$
$$5-1=2$$
$$4=2$$

ผิดตรงนี้

[khlongez]

อันนี้พอจะได้ไหมคระ

$A = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + ...$

$A = (1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + ...) - (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + ...)$

$A = (1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + ...) - (\frac{1}{2})(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ...)$

$A = (1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + ...) - (\frac{1}{2})((1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + ...) + (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + ...))$

$A = (1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + ...) - (\frac{1}{2})(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7}...) - (\frac{1}{2})(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8}...)$

$A = (\frac{1}{2})(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + ...) - (\frac{1}{2})(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} ...)$

$A = (\frac{1}{2})(1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + ...)$

$A = (\frac{1}{2})A$

$A = 0$

$$\therefore 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + ... = 0 $$

จริงๆแล้ว A = ln2 ต่างหาก


ปล.ในความเห็นที่2ผิดตรงบรรทัด รองสุดท้าย
ความจริงแล้ว $ad - bc = 0$ เพราะงั้นจับหารด้วย $ad - bc$ ทั้งสองข้างกลายเป็น $1 = -1$ จึงผิดนะคระ

[กะทิบูด]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kongp

คุณกะทิบูด คุณงงซะแล้วมั้ง โจทย์ที่คุณให้ในช่วงแรกมันไม่สมบูรณ์ เพราะ ไม่ได้กำหนดให้ a-b ไม่เท่ากับศูนย์ด้วย ในขั้นตอนที่ 3 ผลมันก็ออกมาผิด
เพราะการหารด้วยศูนย์ไม่มีนิยาม

ทำใหม่ ให้ a = b และ a,b != 0 แล้ว
a = a , b = b

คำตอบ คือ 1 = 1 นี่คือสเต็ปที่ถูกต้อง

หรือใครอาจจะมีความเห็นอื่นก็ได้ครับ

ขอบคุณครับ

แต่ผมตั้งใจยังงั้น

เพราะเด็กบางคนไม่เเม่นเรื่องนิยามหรือทฤษฏีต่างๆ

กระทู้นี้จึงขอรวบรวมโจทย์ที่เด็กอาจทำผิดพลาดกันบ่อย

เพราะเตือนให้เด็กๆ รอบคอบกว่านี้ เพราะโจทย์พวกนี้ ไม่ยาก

แต่ต้องเข้าใจว่ามันมีข้อจำกัดต่างๆ อย่างไรบ้าง

^^

[nooonuii]

มีการพิสูจน์แบบผิดๆที่เกี่ยวกับอนุกรมอนันต์เยอะำแยะครับ ลองทำให้อีกตัวอย่าง

$A=1-1+1-1+1-1+\cdots$

$=1+(-1+1)+(-1+1)+\cdots$

$=1+0+0+\cdots$

$=1$

ในขณะเดียวกัน

$A=(1-1)+(1-1)+\cdots$

$=0+0+\cdots$

$=0$

ดังนั้น $1=0$

[ลูกชิ้น]

มาช่วยอีกแรง

ให้ x เป็นจำนวนเต็มบวก

$$x=1+1+1+1+1+...+1 (x พจน์)$$

$$ \frac{d}{dx}x=\frac{d}{dx}(1+1+1+...+1)$$

$$ 1 = 0+0+0+...+0 = 0$$

[James_waraniphit]

(a-b)(a+b)=(a-b)b
นำ(a-b)หารสองข้างไม่ได้รึเปล่าครับ
เพราะ(a-b)=0

[กะทิบูด]

ขอขอบคุณ ทุกท่าน ที่พยายาม ช่วยกันหาโจทย์ที่น่าสนใจครับ

^^