โจทย์G-Math แต่...

[R-Tummykung de Lamar]

คราวนี้ผมเป็นฝ่ายถามมั่งนะครับ

16.มีวัสดุทำรั้วยาว 100 เมตร ต้องการล้อมรั้วที่ดินที่อยู่ริมฝั่งแม่น้ำเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยมีความยาวของด้านกว้าง x เมตร และพื้นที่ของที่ดินที่ล้อมรอบได้ A ตารางเมตร ถ้า \( \displaystyle{3 \leq x \leq 10}\ \ \) แล้วพื้นที่ A มีค่าอยู่ช่วงใด (สมาคมคณิตศาสตร์ฯ '43)

ก.\( 282 \leq A \leq 800 \)
ข.\( 318 \leq A \leq 1200 \)
ค.\( 100 \leq A \leq 982 \)
ง.\( 100 \leq A \leq 800 \)

นี่คือเฉลยครับ


ส่วนนี่คือแนวคิดของผมครับ
ผมได้ \(\displaystyle{\ A\ =\ x(100-2x)\ } \ \) เหมือนเค้าแหละครับ
มันคือ พาราโบลาคว่ำที่มีจุดยอดที่ \( \displaystyle{\ \ x\ =\ -\frac{100}{2(-2)}=25}\)

แต่ช่วงที่เค้าให้มาคือ \( \ \ \displaystyle{3 \leq x \leq 10}\ \ \)
ซึ่งอยู่ทางซ้ายของจุดยอด คือ จะเป็นฟังก์ชันเพิ่มดังรูป

นั่นคือ ถ้าเอา x = 3 กับ x = 10 ไปแทน จะได้ค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดตามลำดับ
ผมจึงตอบ ก.\( 282 \leq A \leq 800\ \ \) อะครับ


ผิดถูกอย่างไรช่วยท้วงติงด้วยครับ

[R-Tummykung de Lamar]

อีกข้อนะครับ คล้ายๆกัน คือข้อ 20. ปีเดียวกัน
ขี้เกียจพิมพ์โจทย์แล้วครับ เอาตรงนี้เลยนะครับ
\( \displaystyle{y\ =\ 2x+\frac{5}{x}}\ \ \) เมื่อ 5 < x < 10
เฉลยเค้าทำคล้ายข้อเมื่อกี๊ได้ 10.5 < y < 21

แต่ผมไม่รู้จะคิดยังไง เลยลองเขียนกราฟดูได้ดังรูป

เห็นว่าเป็นฟังก์ชันเพิ่มในช่วง 5 ถึง 10 เหมือนกัน
ดังนั้น เอา 5 กับ ไปแทนก็น่าจะได้ ค่าต่ำสุดกับค่าสูงสุดแล้วไม่ใช่เหรอครับ

ผมตอบ 11 < y < 20.5

[R-Tummykung de Lamar]

อันนี้ข้อ 32 สมาคมคณิตศาสตร์ปีเดียวกันครับ ของ Hi-ED

ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม มุม BAC = EAD ดังรูป
จะมีรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันกี่คู่ (ใช้ตัวอักษรเฉพาะที่ระบุไว้)

ก.2
ข.3
ค.4
ง.5

นี่คือเฉลยครับ





ส่วนที่ผมคิด
ผมได้ \( \displaystyle{A\hat ED\ =\ A\hat CB\ \ }\) เนื่องจาก
มุมภายในสี่เหลี่ยมต้องรวมกันได้ 360
จาก ABCD --> ABCE
พบว่ามุม \( \displaystyle{A\hat DC\ }\) หายไปกลายเป็น \( \displaystyle{A\hat ED\ \ }\)กับ\( \displaystyle{\ \ D\hat AE\ }\)
นั่นคือ \( \displaystyle{A\hat DC\ }\) =\( \displaystyle{A\hat ED\ \ }\) + \( \displaystyle{\ \ D\hat AE\ }\)...(1)
จาก \( \displaystyle{\ \ A\hat DC\ }\) =\( \displaystyle{A\hat DB\ \ }\) + \( \displaystyle{\ \ B\hat DC\ }\)...(2)
แต่ \( \displaystyle{B\hat DC\ =\ C\hat AB\ \ =\ D\hat AE\ }\)

จาก (1) และ (2) ได้ \( \displaystyle{A\hat ED\ =\ A\hat CB\ \ }\)

จะได้ \( \Delta ADE \sim \Delta ABC\)

เพิ่มมาเป็น 4 คู่ครับ
ปล.ขออภัย รูปใหญ่ไปหน่อยนะครับ

[prachya]

ข้อความเดิมของคุณ R-Tummykung de Lamar:
คราวนี้ผมเป็นฝ่ายถามมั่งนะครับ

16.มีวัสดุทำรั้วยาว 100 เมตร ต้องการล้อมรั้วที่ดินที่อยู่ริมฝั่งแม่น้ำเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยมีความยาวของด้านกว้าง x เมตร และพื้นที่ของที่ดินที่ล้อมรอบได้ A ตารางเมตร ถ้า \( \displaystyle{3 \leq x \leq 10}\ \ \) แล้วพื้นที่ A มีค่าอยู่ช่วงใด (สมาคมคณิตศาสตร์ฯ '43)

ช่วยอธิบายข้อนี้หน่อยสิครับ ผมรู้สึกไม่ค่อยเคลียจัง กะเฉลย (ถ้าผมเข้าใจอะไรผิดบอกด้วยนะครับ ซึ่งเฉลยอาจจะถูกแล้วนะครับ)
พื้นที่จะได้เป็นเป็น \( 100x-2x^{2} \)
3 ฃ x ฃ 10
300 ฃ 100x ฃ 1000
18 ฃ 2x² ฃ 200
แล้วลบกันลงมาเลยอ่ะครับ เพราะค่า x เป็นค่า x เดียวกัน
เป็น 282 ฃ 100x-2x² ฃ 800 Ans

[[ถ้าผมจะทำแบบในเฉลยก้อต่อเมื่อมันเป็นคนละตัวแปรอ่ะครับ อย่างเช่น
18 < y < 200
3 < x < 10
8<y-x<197 ]]

ซึ่งถ้าผมเช็คดูนะครับ โดยแทน x = 3 ลงใน 100x-2x² จะได้ 282 นะครับ
จากนั้นถ้าหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นที่นี้เทียบ x ได้เป็น 100 - 4x ซึ่งในช่วง x = 3 ถึง 5 เป็น + ทั้งหมด
นั่นหมายความว่า เมื่อ x มากกว่า 3 ไปเรื่อยๆ ถึง 5 พื้นที่จะมีค่าเพิ่มขึ้น จึงเป็นไปไม่ได้ที่พื้นที่จะน้อยกว่า 282 หนะครับ ทำให้ตีกะเฉลยที่ตอบต่ำสุด 100

อ่ะ ข้อขัดแย้งอีกอย่างนึง สมมติถ้าตอบตามเฉลยนะครับ ว่าพื้นที่ต่ำสุดเป็น 100 เรามาหาค่า x กันครับ ว่าเท่าไร
100 = 100x-2x²
2x² -100x + 100 = 0
x² - 50x + 50 = 0
แก้สมการ quadratic ได้ \( x= \frac{50 +- \sqrt{2500-200}}{2} = 25 +- \sqrt{575} ประมาณได้ 1.021 ,48.979 \) ซึ่งไม่อยู่ในช่วง 3 < x < 10 เลยครับ

[R-Tummykung de Lamar]

เอ. ตรงเอามาลบกัน อสมการรู้สึกจะทำไม่ได้นะครับ

เช่น
3 < 4 จริง
3 < 5 จริง

3 - 3 < 4 - 5
0 < -1

เห็นไหมครับ เท็จแล้ว
ต้องคูรลบตลอดแล้วเปลี่ยนเครื่องหมาย แล้วเอามาบวกกันครับ

แต่ผมก็ไม่เห็นด้วยกับวิธีนี้อยู่ดี เพราะขณะที่ค่าหนึ่งมากสุดในตัวแรก อาจจะไม่เป็นค่าที่มากที่สุดของอีกตัวก็ได้ครับ (สำหรับตัวแปรเดียวกัน)

ทุกๆคน มีความเห็นว่าอย่างไรบ้างครับ

[gon]

ข้อ 16. ของน้อง Tummy พี่คิดว่าใช้แนวคิดถูกต้องแล้วครับ คาดว่าคนเฉลยคงเบลออย่างแรง กระบวนการทำอสมการแบบนั้นจะใช้ได้ก็ต่อเมื่อมันเป็นกำลังหนึ่งเท่านั้นครับ ถ้าทำแบบนั้นจะได้ขอบเขตที่กว้างเกินไป

ซึ่งตรวจสอบได้ง่าย ๆ เลยครับ ลองให้ \(100x - 2x^2 = 298 \Rightarrow {{x = 13.4241631}, {x = 36.5758369}} \, \) ซึ่งหลุดขอบจักรวาลไปเลย