MEMO 2007

[dektep]

โจทย์ MEMO
Let $a,b,c,d$ be positive real numbers with $a + b + c + d = 4$.
Prove that
$a^{2}bc + b^{2}cd + c^{2}da + d^{2}ab\leq 4.$

[Ipod]

MEMO นี่คือโจทย์อะไรหรอครับ

[dektep]

MEMO=Middle European Mathematical Olympiad 2007 ครับ

[kanakon]

ข้อนี้ผมพยายามมานานมากแล้วแต่ก็ไม่ได้ รบกวน hint ด้วยครับ

[dektep]

hint!

พิจารณา {p,q,r,s}={a,b,c,d}

[Ipod]

แต่ถ้าเป็นสี่ตัวแปร ที่เป็น permutation ของมันจะทำยังไงอะครับ
เพราะมันไม่ได้ symmetry ซะหน่อย?

[dektep]

ให้ {$p,q,r,s$}={$a,b,c,d$} และ $p \geq q \geq r \geq s$ โดย rearrangement จะได้ว่า
$L.H.S. = a(abc)+b(bcd)+c(cda)+d(dab) \leq p(pqr)+q(pqs)+r(prs)+s(qrs)=(pq+rs)(pr+qs)$
$\leq (\frac{pq+rs+pr+qs}{2})^{2}=\frac{1}{4}((p+s)(q+r))^{2}$
$\leq \frac{1}{4}((\frac{p+q+r+s}{2})^{2})^{2}=4$

[Ipod]

โอ้มีวิธีนี้ด้วยหรอครับ
ทำไมที่ผมเรียนมีแต่บอกว่า
"ข้อนี้ไม่สมมาตรนะ คุณไม่สามารถกำหนดลำดับของตัวแปรได้ "- -"
แต่พึ่งทราบว่ามีวิธีนี้อยู่นะครับเนี่ย

คุณ dektep ช่วยอธิบายหน่อยสิครับว่า กำหนดแบบนี้ แตกต่าง/เหมือนกับ การกำหนด
$$a\geq b\geq c\geq d$$
ยังไงอะครับ

[dektep]

ต่างครับ เพราะว่ากรณี $a \geq b \geq c \geq d$ ไม่เหมือนกับกรณี $a \geq c \geq d \geq b,a \geq b \geq d \geq c,...$
แต่ถ้าพิจารณา $p \geq q \geq r \geq s$ เมื่อ {$p,q,r,s$}={$a,b,c,d$} แล้ว ไม่ว่าค่าของ $a,b,c,d$ จะเรียงลำดับอย่างไรแล้ว $pqr \geq pqs \geq prs \geq qrs$ $\therefore p(pqr)+q(pqs)+r(prs)+s(qrs)$
จะมีค่ามากกว่าทุก ๆ การเรียงสลับเปลี่ยน $(a,b,c,d)$ ของ $a(abc)+b(bcd)+c(cda)+d(dab)$