ฺBackward Induction

[Anonymous314]

อะไรคือ Backward Induction ครับ ใช้ทำอะไรได้ครับ มีตัวอย่างด้วยก็ดีครับ ขอบคุณครับ
รู้จักแต่ Induction กับ Strong Induction

[owlpenguin]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Anonymous314

อะไรคือ Backward Induction ครับ ใช้ทำอะไรได้ครับ มีตัวอย่างด้วยก็ดีครับ ขอบคุณครับ
รู้จักแต่ Induction กับ Strong Induction

ลองดูตัวอย่างได้ในการพิสูจน์อสมการ AM-GM โดย Cauchy (คนนะครับ ไม่ใช่ชื่ออสมการ)
http://en.wikipedia.org/wiki/AM-GM

[JanFS]

Backward Induction ก็คือการอินดักชั่นแบบนึงครับ แต่ไม่ค่อยพบหรอกครับ
มันใช้เวลาที่การ Forward Induction ของคุณ ไม่โคเวอร์บนขอบเขตที่ต้องการ
(เช่นต้องการ $\mathbb{N}$ แต่มี 1,4,9,16,25,...)
แต่ก็มีเงื่อนไขการใช้เหมือนกัน คือ การForward Inductionนั้น จะต้องวิ่งเข้าสู่ $\infty$
และต้องแสดงให้เห็นว่า
ทุก$ n \in \mathbb{I}$ จะมีวิธีไล่จากจำนวนในขั้นฐานโดย Forward Induction และ Backward Induction ได้เสมอ
ซึ่งโดยทั่วไปแล้ว จะทำให้ Forward Induction นั้นกระโดดไปไกลๆเลยให้ถึงอนันต์
ส่วน Backward Induction ลบทีละหนึ่ง แบบนี้ก็จะไม่มีปัญหาอะไร

นอกจากนี้ยังมีลักษณะของ Induction บน $\mathbb{N}^{k}$ อีกด้วย ซึ่งจะต้องใช้วิธีที่ต่างออกไป
(เช่น การอินดักชั่นว่าจริงทุกจุดใน $x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2} ,\forall r \in \mathbb{N}$ เป็นต้น)

[Anonymous314]

ขอบคุณทุก ๆ คนที่มาแนะนำมากนะครับ

[nooonuii]

Challenging Problem : Prove Ky Fan's inequality by using both forward and backward inductions.

Ky Fan's inequality : If $x_1,...,x_n\in (0,\dfrac{1}{2})$, then
$$\frac{\prod_{i=1}^nx_i}{\big(\sum_{i=1}^nx_i\Big)^n}\leq \frac{\prod_{i=1}^n(1-x_i)}{\big(\sum_{i=1}^n(1-x_i)\Big)^n}$$

[Anonymous314]

ยากจังครับ