เศษการหารคับ

[napong]

หาเศษจากการหาร 11^2556 ด้วย 2013

[Amankris]

วิธีวนเศษ 5 ตัว ได้ไหมครับ

[tngngoapm]

...มุมมองClusterเศษคือ เศษที่ได้จากการหารด้วย2013จะมีทั้งหมด2013คลัสเตอร์ จำนวนซึ่งถูกหารด้วย2013แล้วเหลือเศษเท่ากันจะอยู่ในคลัสเตอร์เดียวกัน
...แต่ละคลัสเตอร์จะมีสมาชิกเป็นจำนวนเต็มนับได้ไม่ถ้วน และสามารถเขียนจำนวนเหล่านั้นได้ในรูปของ $a(3)(11)+b(11)(61)+c(61)(3)$ โดยที่a,bและcเป็นจำนวนเต็มและในคลัสเตอร์เดียวกัน จำนวนa,b,cจะมีสมบัติเศษเหมือนกันเช่น
...$11^{2556}หารด้วย2013$
...แยกตัวประกอบ$2013=(3)(11)(61)$
...$11^{2556}หารด้วย3เหลือเศษ1$
...$11^{2556}หารด้วย11ลงตัว$
...$11^{2556}หารด้วย61เหลือเศษ1$
...สรุปได้ว่า$11^{2556}$สามารถเขียนให้อยู่ในรูป$ a(3)(11)+b(11)(61)+c(61)(3)$หรือ$33a+671b+183c$ได้ โดยที่a,b,cเป็นจำนวนเต็มซึ่งมีสมบัติเศษดังนี้...
...$จำนวนaถูกหารด้วย61เหลือเศษ37$
...$จำนวนbถูกหารด้วย3เหลือเศษ2$
...$จำนวนcถูกหารด้วย11ลงตัว$
...ในช่วงเวลาจะตอบคือคลัสเตอร์เดียวกันคือมีเศษเท่ากัน
...เลือกa,b,cจำนวนน้อยๆเช่น$a=37,b=2และc=0$จะได้$33a+671b+183c=2563$
...แปลผลได้ว่าจำนวน$2563$อยู่ในคลัสเตอร์เศษเดียวกับ$11^{2556}$เมื่อถูกหารด้วย$2013$...นั่นคือมีเศษเท่ากับ$550$เท่ากัน

[Thamma]

Congruence

$2013=3\cdot11\cdot61$

$11^2 \equiv 1\; (\bmod 3)$

$11^{2556} \equiv 1 \;(\bmod 3)$ ---[1]

$11^{2556} \equiv 0 \;(\bmod 11)$ ---[2]

$11^{2556} \equiv 121^{1278}\; (\bmod 61)$

$11^{2556} \equiv (-1)^{1278}\; (\bmod 61)$

$11^{2556} \equiv 1\; (\bmod 61)$ ---[3]

จาก [1], [2], [3] จะได้ $11^{2556} \equiv 550 \;(\bmod 2013)$