|
|
|||||||
| สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
  |
|
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
#1
05 กันยายน 2005, 11:04
|
|||
|
|||
เอ่อ คือว่าอยากได้ข้อสอบแคล แบบที่มันคลอบคลุม
คือว่าจะสอบ ไฟนอลแล้ว แต่ยังไม่ฟิตเลยครับ ก็เลยอยากให้ช่วยหาข้อสอบแคลแบบที่มันคลอบคลุมให้หน่อยพร้อมเฉลยน่ะครับ เนื้อหาก็มีเรื่องต่อไปนี้นะคับ
1.การอินทิเกรตโดยการเปลี่ยนตัวแปร 2.เทคนิคการอินทิเกรต 3.การประยุกต์ของอินเดฟฟินิตอินทิกรัล 4.เดฟฟินิตอินทิกรัล 5.การประยุกต์ของเดฟฟินิตอินทิกรัล 6.การอินทิเกรตฟังก์ชันเวกเตอร์ ขอบคุณมากครับ ผมเรียนอยู่วิศวะเชียงใหม่ครับ....... ช่วยหน่อยนะคับ 
|
|
#2
06 กันยายน 2005, 02:26
|
|||
|
|||
|
เรื่องเทคนิคการอินทิเกรต ผมพอจะมีอยู่ในหัวบ้าง เอาโจทย์คร่าว ๆ ละกัน พอให้รู้ว่ามีเทคนิคอะไรบ้าง (เท่าที่ผมจำได้ :P )
เปลี่ยนตัวแปรแบบพื้นฐาน (ให้ \(m, n\) เป็นจำนวนเต็มบวก แล้วก็ \(a, b, c\) เป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์นะ) \( \int \sin x (\cos x)^n dx \) \(u = \cos x\) \( \int \frac{(\ln x)^n}{x} dx \)\[ \begin{array} \int \sin x (\cos x)^n dx & = & \int (\cos x)^n d(-\cos x) \\ & = & -\frac{1}{n+1}(\cos x)^{n+1} + C \end{array} \] \(u = \ln x\) \( \int x^n e^{x^{n+1}} dx \)\[ \begin{eqnarray} \int \frac{(\ln x)^n}{x} dx & = & \int (\ln x)^n d(\ln x)\\ & = & \frac{1}{n+1}(\ln x)^{n+1} + C \end{eqnarray} \] \(u = x^{n+1}\) \( \int (\sec x)^n \tan x \ dx \)\[\begin{eqnarray} \int x^n e^{x^{n+1}} dx & = & \int e^{x^{n+1}} d(\frac{1}{n+1}x^{n+1}) \\ & = & \frac{1}{n+1}e^{x^{n+1}} + C \end{eqnarray}\] \(u = \sec x\) \( \int (x+a)(x+b)^c dx \)\[\begin{eqnarray} \int (\sec x)^n \tan x \ dx & = & \int (\sec x)^{n-1} d(sec x) \\ & = & \frac{1}{n}(\sec x)^n + C \end{eqnarray}\] \(u = x + b\) \[\begin{eqnarray} \int (x+a)(x+b)^c dx & = & \int \big( (x+b)(x+b)^c + (a-b)(x+b)^c \big) d(x+b) \\ & = & \int \big( (x+b)^{c+1} + (a-b)(x+b)^c \big) d(x+b) \\ & = & \frac{1}{c+2}(x+b)^{c+2} + \frac{a-b}{c+1}(x+b)^{c+1} + C \end{eqnarray}\] จัดรูปฟังก์ชันตรีโกณ \(\int \cos^2 x \ dx\) \[\begin{eqnarray} \(\int \csc^3 x \cot^5 x \ dx\)\int \cos^2 x \ dx & = & \int \frac{1 + \cos 2x}{2} dx \\ & = & \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin 2x + C \end{eqnarray}\] \[\begin{eqnarray} \(\int \csc^4 x \cot^4 x \ dx\)\int \csc^3 x \cot^5 x \ dx & = & \int \csc^2 x \cot^4 x \ d(-\csc x) \\ & = & -\int \csc^2 x (\csc^2 x - 1)^2 d(\csc x) \\ & = & -\int \csc^2 x (\csc^4 x - 2\csc^2 x + 1) d(\csc x) \\ & = & -\int [\csc^6 x - 2\csc^4 x + \csc^2 x] d(\csc x) \\ & = & -\frac{1}{7}\csc^7 x + \frac{2}{5}\csc^5 x - \frac{1}{3}\csc^3 x + C \end{eqnarray}\] \[\begin{eqnarray} \(\int \sec^3 x \ dx\) (ข้อนี้ต้องใช้ integration by parts ด้วย)\int \csc^4 x \cot^4 x \ dx & = & \int \csc^2 x \cot^4 x \ d(-\cot x) \\ & = & -\int (\cot^2 x + 1) \cot^4 x \ d(\cot x) \\ & = & -\int (\cot^6 x + \cot^4 x) d(\cot x) \\ & = & -\frac{1}{7}\cot^7 x - \frac{1}{5}\cot^5 + C \end{eqnarray}\] \[\begin{eqnarray} \int \sec^3 x \ dx & = & \int \sec x (1 + \tan^2 x) dx \\ & = & \int \sec x \ dx + \int \sec x \tan^2 x \ dx \\ & = & \ln | \sec x + \tan x | + \int \tan x \ d(\sec x) \\ & = & \ln | \sec x + \tan x | + \sec x \tan x - \int \sec x \ d(\tan x) \\ & = & \ln | \sec x + \tan x | + \sec x \tan x - \int \sec^3 x \ dx \\ & = & \frac{1}{2}( \ln | \sec x + \tan x | + \sec x \tan x) + C \end{eqnarray}\] แยกส่วน (By Parts) \(\int x e^x dx\) \[\begin{eqnarray} \(\int \ln x \ dx\)\int x e^x dx & = & \int x d(e^x) \\ & = & x e^x - \int e^x dx \\ & = & x e^x - e^x + C \\ \end{eqnarray}\] \[\begin{eqnarray} \(\int \arcsin x \ dx\)\int \ln x \ dx & = & x \ln x - \int x d(\ln x) \\ & = & x \ln x - \int dx \\ & = & x \ln x - x + C \end{eqnarray}\] \[\begin{eqnarray} \( \int x \arctan x \ dx \)\int \arcsin x \ dx & = & x \arcsin x - \int x d(\arcsin x) \\ & = & x \arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}dx \\ & = & x \arcsin x - \int \frac{d\left(\frac{x^2}{2}\right)}{\sqrt{1 - x^2}} \\ & = & x \arcsin x + \frac{1}{2} \int \frac{d(1 - x^2)}{\sqrt{1 - x^2}} \\ & = & x \arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C \end{eqnarray}\] \[\begin{eqnarray} \( \int x^n \sin x \ dx; n > 1 \)\int x \arctan x \ dx & = & \int \arctan x \ d(\frac{1}{2}x^2) \\ & = & \frac{1}{2}x^2\arctan x - \frac{1}{2}\int x^2 d(\arctan x) \\ & = & \frac{1}{2}x^2\arctan x - \frac{1}{2}\int \frac{x^2 dx}{1 + x^2} \\ & = & \frac{1}{2}x^2\arctan x - \frac{1}{2}\int \left(1 - \frac{1}{1 + x^2}\right) dx \\ & = & \frac{1}{2}x^2\arctan x - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\arctan x + C \end{eqnarray}\] \[\begin{eqnarray} \( \int e^x \cos x \ dx \)\int x^n \sin x \ dx & = & \int x^n d(-\cos x) \\ & = & -x^n \cos x + \int \cos x \ d(x^n) \\ & = & -x^n \cos x + \int nx^{n - 1} \cos x \ dx \\ & = & -x^n \cos x + n \int x^{n - 1} d(\sin x) \\ & = & -x^n \cos x + n x^{n - 1} \sin x - n \int \sin x \ d(x^{n - 1}) \\ & = & -x^n \cos x + n x^{n - 1} \sin x - n(n - 1) \int x^{n - 2} \sin x \ dx \end{eqnarray}\] \[\begin{eqnarray} \int e^x \cos x \ dx & = & \int \cos x \ d(e^x) \\ & = & e^x \cos x - \int e^x d(\cos x) \\ & = & e^x \cos x + \int e^x \sin x \ dx \\ & = & e^x \cos x + \int \sin x \ d(e^x) \\ & = & e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x d(\sin x) \\ & = & e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \cos x \ dx \\ & = & \frac{1}{2}(e^x \cos x + e^x \sin x) + C \end{eqnarray}\] เปลี่ยนตัวแปรแบบตรีโกณ \( \int \sqrt{a^2 - x^2} dx \) \(u = \arcsin \frac{x}{a}\) หรือ \(\arccos \frac{x}{a}\) \( \int \frac{dx}{a + b \cos x} \)\[\begin{eqnarray} \displaystyle{\int \sqrt{a^2 - x^2} dx} & = & \displaystyle{\int \sqrt{a^2 - x^2}\frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx} \\ & = & \displaystyle{\int a^2\left(1 - \left(\frac{x}{a}\right)^2\right) d(\arcsin \frac{x}{a})} \\ & = & \displaystyle{a^2 \int \left(\cos(\arcsin \frac{x}{a})\right)^2 d(\arcsin \frac{x}{a})} \\ & = & \displaystyle{a^2 \int \frac{1 + \cos(2 \arcsin \frac{x}{a})}{2} d(\arcsin \frac{x}{a})} \\ & = & \displaystyle{\frac{a^2}{2} [\arcsin \frac{x}{a} + \frac{1}{2}\sin(2 \arcsin \frac{x}{a})] + C} \\ & = & \displaystyle{\frac{a^2}{2} [\arcsin \frac{x}{a} + \frac{x}{a}\sqrt{1 - \left(\frac{x}{a}\right)^2}] + C} \\ & = & \displaystyle{\frac{a^2}{2} \arcsin \frac{x}{a} + \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + C} \end{eqnarray}\] \(u = \sqrt{\frac{a - b}{a + b}} \tan \frac{x}{2}\) \[\begin{eqnarray} \displaystyle{\int \frac{dx}{a + b \cos x}} & = & \displaystyle{\int \frac{dx}{a + b (2 \cos^2 \frac{x}{2} - 1)}} \\ & = & \displaystyle{\int \frac{dx}{2b \cos^2 \frac{x}{2} + a - b}} \\ & = & \displaystyle{\int \frac{\sec^2 \frac{x}{2} dx}{2b + (a - b)\sec^2 \frac{x}{2}}} \\ & = & \displaystyle{\int \frac{2 d(\tan \frac{x}{2})}{2b + (a - b)(1 + \tan^2 \frac{x}{2})}} \\ & = & \displaystyle{2 \int \frac{1}{(a + b) + (a - b)\tan^2 \frac{x}{2}} d(\tan \frac{x}{2})} \\ & = & \displaystyle{\frac{2}{a + b} \int \frac{1}{1 + \frac{(a - b)}{a + b}\tan^2 \frac{x}{2}} d(\tan \frac{x}{2})} \\ & = & \displaystyle{\frac{2}{a + b} \sqrt{\frac{a + b}{a - b}} \int \frac{1}{1 + \left(\sqrt{\frac{(a - b)}{a + b}}\tan \frac{x}{2}\right)^2} d\left(\sqrt{\frac{a - b}{a + b}}\tan \frac{x}{2}\right)} \\ & = & \displaystyle{\frac{2}{\sqrt{a^2 - b^2}} \arctan \left(\sqrt{\frac{a - b}{a + b}} \tan \frac{x}{2} \right) + C} \end{eqnarray}\] แบ่งเศษส่วนย่อย (Partial Fractions) \( \int \frac{dx}{(x + a)(bx + c)} \) \[\begin{eqnarray} \int \frac{dx}{(x + a)(bx + c)} & = & \int \left(\frac{1}{(c - ab)(x + a)} - \frac{b}{(c - ab)(bx + c)}\right) dx \\ & = & \frac{1}{c - ab} \int \left(\frac{dx}{x + a} - \frac{b\ dx}{bx + c}\right) \\ & = & \frac{1}{c - ab} \int \left(\frac{d(x + a)}{x + a} - \frac{d(bx + c)}{bx + c}\right) \\ & = & \frac{1}{c - ab} [\ln (x + a) - \ln (bx + c)] + C \end{eqnarray}\] ใช้วิธีอื่น ๆ \( \int \frac{dx}{a \sin cx + b \cos cx} \) \[\begin{eqnarray} \displaystyle{\int \frac{dx}{a \sin cx + b \cos cx}} & = & \displaystyle{\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 + b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\sin cx + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\cos cx\right)}} \\ & = & \displaystyle{\int \frac{dx}{\sin(cx + \arctan \frac{b}{a})}} \\ & = & \displaystyle{\frac{1}{c} \int \csc(cx + \arctan \frac{b}{a}) d(cx + \arctan \frac{b}{a})} \\ & = & \displaystyle{-\frac{1}{c} \ln | \csc(cx + \arctan \frac{b}{a}) + \cot(cx + \arctan \frac{b}{a}) | + C} \end{eqnarray}\] โจทย์ระคน (อันนี้ขี้เกียจแสดงวิธีทำนะ) \( \int x \arcsin x \ dx \) \(\frac{1}{4}\left(x\sqrt{1 - x^2} + (2x^2 - 1)\arcsin x\right) + C\) \( \int x^2 \arccos x \ dx \)\(\frac{1}{3}x^3\arccos x - \frac{1}{9}(2 + x^2)\sqrt{1 - x^2} + C\) \( \int \sqrt{\tan x} dx \)\(\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\arctan(1 - \sqrt{2\tan x}) + \arctan(1 + \sqrt{2\tan x})\right) + \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left(\frac{\sqrt{2\tan x} + \tan x + 1}{\sqrt{2\tan x} - \tan x - 1}\right) + C}\)
|
| |
|
|
