|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
Nice!(apply with polynomial)
ให้ $a,b,c,d,e$ เป็นจำนวนนับ เราสมมติว่า $S=a+b+c+d+e+f$ หาร $abc+def$ และ $ab+bc+ca-de-ef-fd$ ลงตัว จงหาค่าของ $a,b,c,d,e$ ทั้งหมดที่ทำให้ $S$ เป็นจำนวนเฉพาะ
__________________
AL-QAEDA(เอXข้างหน้า!!)!!!!!!!!!! ถึง บิน ลาเดนจะลาโลกไปแล้ว แต่เรายังมีผู้นำ jihad คนใหม่....อย่าง อับดุล อาบาเร่ คราลิดทากัน...เราจะใช้รถดูดส้XXเป็นคาร์บอม!!!จงพลีชีพเพื่อผู้นำของเรา!!!!!!! BOOM!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
|
#2
|
||||
|
||||
โจทย์น่าทำจังเลยนะครับ ผมจะลองพยายามทำดูนะครับ
|
#3
|
||||
|
||||
ยากไปป่าว 555+ แต่ก้อหนุก
|
#4
|
||||
|
||||
ให้ $P(x)=(x+a)(x+b)(x+c)-(x-d)(x-e)(x-f)$
__________________
AL-QAEDA(เอXข้างหน้า!!)!!!!!!!!!! ถึง บิน ลาเดนจะลาโลกไปแล้ว แต่เรายังมีผู้นำ jihad คนใหม่....อย่าง อับดุล อาบาเร่ คราลิดทากัน...เราจะใช้รถดูดส้XXเป็นคาร์บอม!!!จงพลีชีพเพื่อผู้นำของเรา!!!!!!! BOOM!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
|
#5
|
|||
|
|||
สวัสดีเจ้าค่ะ... สำหรับข้อนี้ เพิ่งจะรู้นะเจ้าคะว่ามีวิธีที่ใช้พหุนามทำด้วย ส่วนตัวแล้วรู้วิธีทำวิธีเดียว โดยได้มาจากเพื่อนคนนึง ทำดังนี้เจ้าค่ะ
ก่อนอื่นก็ให้ $S=a+b+c+d+e+f$ เจ้าค่ะ (ย้ำอีกทีกันลืม) ต่อไป เมื่อใช้ดินสอกดลากไปกระดาษทดอยู่ซักพัก (ตามคำให้สัมภาษณ์ของผู้ที่เฉลยให้) เริ่มต้นจาก $S|abc+def$ และ $S|ab+bc+ca-de-ef-fd$ เราจะพิสูจน์ได้ว่า $$S|(a+1)(b+1)(c+1)+(d-1)(e-1)(f-1)$$ และ $$S|(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)-(d-1)(e-1)-(e-1)(f-1)-(f-1)(d-1)$$ สำหรับวิธีพิสูจน์ก็กระจายฝั่งที่เป็นตัวตั้งออกมา $(a+1)(b+1)(c+1)+(d-1)(e-1)(f-1)$ $=(abc+def)+(ab+bc+ca-de-ef-fd)+(a+b+c+d+e+f)$ $(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)-(d-1)(e-1)-(e-1)(f-1)-(f-1)(d-1)$ $=(ab+bc+ca-de-ef-fd)+2(a+b+c+d+e+f)$ ซึ่งทุกพจน์เป็นพหุคูณของ $S$ จากนั้น สังเกตว่า $$S'=(a+1)+(b+1)+(c+1)+(d-1)+(e-1)+(f-1)=a+b+c+d+e+f=S$$ ดังนั้นถ้า $(a,b,c,d,e,f)$ มีสมบัติอย่างที่โจทย์กำหนดมาแล้ว $(a+1,b+1,c+1,d-1,e-1,f-1)$ ก็จะมีสมบัติดังกล่าวด้วย และในทำนองเดียวกันก็สามารถพิสูจน์ได้ว่า $(a-1,b-1,c-1,d+1,e+1,f+1)$ ก็มีสมบัติดังกล่าวเช่นกัน คราวนี้เราก็ดูว่าใน $a,b,c,d,e,f$ นี่ตัวไหนที่น้อยที่สุด ถ้าเป็น $a,b$ หรือ $c$ เราก็แปลง $$(a,b,c,d,e,f) \rightarrow (a-1,b-1,c-1,d+1,e+1,f+1)$$ ซ้ำๆ จนกว่าตัวที่น้อยที่สุดจะกลายเป็น 0 ซึ่งจะได้ว่า 6-tuple ในตอนนี้กลายเป็น $(0,b-a,c-a,d+a,e+a,f+a)$ โดยที่ทุกองค์ประกอบไม่เป็นลบ (กรณีที่ตัวที่น้อยที่สุดคือ $b$ หรือ $c$ ก็ทำต่อได้ในทำนองเดียวกัน) เนื่องจากเราได้พิสุจน์แล้วว่า 6-tuple นี้เองก็ยังคงมีสมบัติอย่างที่โจทย์กำหนด ดังนั้น $S|abc+def \rightarrow S|(d+a)(e+a)(f+a)$ ($S$ ยังคงมีค่าเท่ากับ $a+b+c+d+e+f$) ถ้า S เป็นจำนวนเฉพาะจะได้ว่า $S|d+a, S|e+a$ หรือ $S|f+a$ พิจารณากรณีที่ $S|d+a$ (กรณีอื่นๆ สามารถให้เหตุผลในทำนองเดียวกัน) จะได้ว่า $$d+a \geqslant S = a+b+c+d+e+f > a+d$$ (เพราะว่า $a,b,c,d,e,f\in \mathbb{N}$) จึงเกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้นจึงไม่มี $S$ ที่เป็นจำนวนเฉพาะ ในกรณีที่ตัวน้อยสุดเป็น $d,e$ หรือ $f$ เราก็ใช้การแปลง $(a,b,c,d,e,f) \rightarrow (a+1,b+1,c+1,d-1,e-1,f-1)$ แล้วก็สามารถให้เหตุผลในทำนองเดียวกันเช่นกัน สรุปแล้วจึงได้ว่าหากว่า $a,b,c,d,e,f$ สอดคล้องเงื่อนไขดังกล่าวแล้ว $S$ ไม่สามารถเป็นจำนวนเฉพาะได้เลย... เจ้าค่ะ
__________________
Behind every beautiful proof lies a mountain of trash-turned calculation notes. ไปเยี่ยมกันได้ที่ต่างๆ ต่อไปนี้นะเจ้าคะ blog ดนตรีโดจิน: http://aiko-no-heya.exteen.com "กลุ่มศึกษาดนตรีโดจิน": http://www.facebook.com/doujinmusiclife "เส้นทางสู่โตได (วิชาเลข)": http://www.facebook.com/roadtotodai |
#6
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ถ้าเราให้ $P(x)=(x+a)(x+b)(x+c)-(x-d)(x-e)(x-f)$ ตามที่ hint ไว้ สังเกตว่า $P(x)=(a+b+c+d+e+f)x^2+(ab+bc+ca-de-ef-fa)x+(abc+def)$ จากสมมติฐานของเราจึงได้ว่า $a+b+c+d+e+f\mid P(x)$ ทุก $x$ ที่เปนจำนวนเต็ม สมมติว่ามี $a,b,c,d,e,f$ ที่ทำให้ $a+b+c+d+e+f$ เป็นจำนวนเฉพาะ เนื่องจาก $a+b+c+d+e+f\mid P(f)$ แต่ $P(f)=(f+a)(f+b)(f+c)$ จึงได้ $a+b+c+d+e+f\mid (f+a)(f+b)(f+c)$ แต่เนื่องจาก $a+b+c+d+e+f$ เปนจำนวนเฉพาะ ทำให้เราได้ว่า $a+b+c+d+e+f$ จะหาร $f+a,f+b,f+c$ ตังใดตัวหนึ่งลงตัว แต่สังเกตว่า $a+b+c+d+e+f>f+a,f+b,f+c$ จึงเป็นไปไม่ได้ที่ $a+b+c+d+e+f$ จะหารมันลงตัว $\therefore a+b+c+d+e+f$ จึงไม่มีโอกาสที่จะได้เปนจำนวนเฉพาะ จึงจบการพิสูจน์คะ
__________________
ฉันเป็นแค่ผู้หญิงธรรมดาคนหนึ่ง แต่ฉันก็ยินดีที่จะอยู่กับเธอไปชั่วชีวิต |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Nice | dektep | เรขาคณิต | 11 | 19 พฤษภาคม 2008 21:27 |
ไม่ nice แต่ งาม | Ipod | อสมการ | 2 | 19 พฤษภาคม 2008 18:44 |
การเลือกใช้ Exponential และ Polynomial | thetoony | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 6 | 05 สิงหาคม 2007 22:21 |
root of polynomial | M@gpie | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 1 | 09 มีนาคม 2007 10:47 |
งงคับ กับ Equivalent Polynomial | M@gpie | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 7 | 04 ธันวาคม 2005 00:05 |
|
|