โจทย์จำนวนเชิงซ้อน

[กิตติ]

ผมไปเจอโจทย์ในเฟซบุ๊คมาแล้วคิดไม่ออก รบกวนอยากถามครับ

กำหนดให้ $a_1,a_2,....,a_{11},a_{12}$ เป็นระยะทางจากจุด $(1,0)$ ไปยังจุดทั้งสิบสองจุดโดยจุดทั้งสิบสองจุดเป็นจุดยอดของรูปสิบสามเหลี่ยมด้านเท่า จงหาค่าของ $\sqrt{(5-a_1^2)(5-a_2^2)...(5-a_{11}^2)(5-a_{12}^2)} $

[กิตติ]

ข้อนี้ผมได้วิธีทำแล้วครับ เพิ่งคุยกับน้องวีเลยได้คำตอบ
ให้ $z_1,z_2,...,z_{11},z_{12}$ เป็นรากที่ไม่ใช่ 1 ของสมการ $z^{13}=1$
จะได้ว่าทั้ง 12 ค่าเป็นรากของสมการ $z^{12}+z^{11}+z^{10}+...+z^3+z^2+1=0$
เราจะพบว่าเมื่อ $z$ เป็นรากของสมการแล้ว $\overline{z} $ จะเป็นคำตอบของสมการด้วย
กำหนดให้คู่สังยุคคือ $z_1\bullet \overline{z_{12}}=1 $ จะได้อีก 5 คู่คือ
$z_2\bullet \overline{z_{11}}=1 $
$z_3\bullet \overline{z_{10}}=1 $
$z_4\bullet \overline{z_9}=1 $
$z_5\bullet \overline{z_8}=1 $
$z_6\bullet \overline{z_7}=1 $
$a_1^2=\left|\,1-z_1\right|^2 $
$a_2^2=\left|\,1-z_2\right|^2 $
ไปจนถึง
$a_{11}^2=\left|\,1-z_{11}\right|^2 $
$a_{12}^2=\left|\,1-z_{12}\right|^2 $
จะได้ว่า $a_1=a_{12},a_2=a_{11},a_3=a_{10},a_4=a_9,a_5=a_8,a_6=a_7$
พิจารณา $a_1^2=\left|\,1-z_1\right|^2 $
$\left|\,1-z_1\right|^2=(1-z_1)(\overline{1-z_1})$
$=(1-z_1)(1-\overline{z_1})$
$=1-z_1-\overline{z_1}+(z_1\cdot \overline{z_1})$
$=2-(z_1+\overline{z_1})$
$5-a_1^2=3+(z_1+\overline{z_1})$

สิ่งที่โจทย์ถามคือ $\sqrt{(5-a_1^2)(5-a_2^2)...(5-a_{11}^2)(5-a_{12}^2)} $
เท่ากับ $(5-a_1^2)(5-a_2^2)(5-a_3^2)(5-a_4^2)(5-a_5^2)(5-a_6^2)$
$=(3+(z_1+\overline{z_1}))(3+(z_2+\overline{z_2}))(3+(z_3+\overline{z_3}))(3+(z_4+\overline{z_4}))(3+(z_5+\overline{z_5}))(3+(z_ 6+\overline{z_6}))$
$=(3+(z_1+ \frac{1}{z_1}))(3+(z_2+ \frac{1}{z_2}))(3+(z_3+ \frac{1}{z_3}))(3+(z_4+ \frac{1}{z_4}))(3+(z_5+ \frac{1}{z_5}))(3+(z_6+ \frac{1}{z_6}))$
$=(3+m_1)(3+m_2)(3+m_3)(3+m_4)(3+m_5)(3+m_6)$

จากสมการ $z^{12}+z^{11}+z^{10}+z^9+z^8+z^7+z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+1=0$
$(z^6+ \frac{1}{z^6})+(z^5+ \frac{1}{z^5})+(z^4+ \frac{1}{z^4})+(z^3+ \frac{1}{z^3})+(z^2+ \frac{1}{z^2})+(z+ \frac{1}{z})+1=0$
ให้ $m=z+ \frac{1}{z}$
จะได้สมการ
$m^6+m^5-5m^4-4m^3+6m^2+3m-1=0$
ให้ $m_1,m_2,...,m_5,m_6$ เป็นรากของสมการนี้
$(m-m_1)(m-m_2)(m-m_3)...(m-m_6)=0$
แทน $m=-3$
$(-3-m_1)(-3-m_2)(-3-m_3)(-3-m_4)(-3-m_5)(-3-m_6)=0$
$(3+m_1)(3+m_2)(3+m_3)(3+m_4)(3+m_5)(3+m_6)=0$
$=(-3)^6+(-3)^5-5((-3)^4)-4((-3)^3)+6((-3)^2)+3(-3)-1$
$=729-243-405+108+54-9-1$
$=233$