ปัญหาเกี่ยวกับ infinite set ครับ

[mandog]

คือผมจะอยากจะพิสูจน์ว่า "$A$ เป็นเซตอนันต์ ก็ต่อเมื่อ มีสับเซตแท้ $B$ ของ $A$ ที่ทำให้ฟังก์ชัน $f$ จาก $A$ ไป $B$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง"
โดยมีนิยามเกี่ยวกับ เซตอนันต์ว่า "$A$ จะเป็นเซตอนันต์ ก็ต่อเมื่อ $A$ เทียบเท่ากับ สับเซตแท้$B$ ของ$A$"

ผมพิสูจน์อย่างนี้ครับ
($\Rightarrow$ ) สมมติให้ $A$ เป็นเซตอนันต์
ดังนั้น จะมี $B\subset A$ ที่ $A\sim B$ ฉะนั้น จะมี f ซึ่ง $f:A\rightarrow B$ แบบ 1-1,onto
$ \therefore f:A\rightarrow B $แบบ 1-1
($\Leftarrow$ ) สมมติว่า มี$ B\subset A $ที่ทำให้ฟังก์ชัน $f: A\rightarrow B$ เป็นฟังก์ชัน1-1
จะแสดงว่า A เป็นเซตอนันต์
(ปัญหาคือ ผมไม่รู้ว่าต้องพิสูจน์ยังไงต่อ ในความรู้สึกผม ผมคิดว่าควรสร้างฟังก์ชัน g ที่ทำให้ $A\sim B$)
ผิดถูกประการใด รบกวนแนะนำด้วยค้าบ

[nooonuii]

ไม่รู้ว่าแบบนี้ใช้ได้มั้ย

สมมติว่า $A$ เป็นเซตจำกัด

จากการที่ $f:A\to B$ 1-1 จะได้ว่า

$f:A\to B$ onto ด้วย

ดังนั้น $A\sim B$ ซึ่งจะทำให้ $B$ มีจำนวนสมาชิกเท่ากับ $A$

แต่ $A$ เป็นเซตจำกัดและ $B\subset A$ เราจะได้ว่า $A=B$

ซึ่งขัดแย้ง

[mandog]

ขอบคุณนะครับ แต่ผมว่ามันยังแปลกๆอยู่

[Onasdi]

ถ้าเป็นผมก็ทำเหมือนกันครับ ไม่แปลกนะครับ มองว่า $A$ เป็นเซตจำกัดไม่ได้ เพราะถ้า $A$ เป็น $B$ ก็จะเป็นเซตจำกัดที่เล็กกว่า ซึ่งไม่มีทางมีฟังก์ชัน 1-1 จาก $A$ ไป $B$