ช่วยหน่อยครับ พหุนาม !

[CalerGs]

$กำหนดให้ a+b+c=0 ถ้าสามารถเขียนนิพจน์ a^{5}+b^{5}+c^{5} ได้ในรูป kabc(a^2+b^2+c^2) แล้วค่า k เท่ากับเท่าไหร่$

[math Evil]

ผมได้ $ k= \frac{5}{2} $
ใช้แทนค่าเอาคับ
a=2 b= -1 c= -1
ลงในสมการ

[RM@]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ CalerGs

$กำหนดให้ a+b+c=0 ถ้าสามารถเขียนนิพจน์ a^{5}+b^{5}+c^{5} ได้ในรูป kabc(a^2+b^2+c^2) แล้วค่า k เท่ากับเท่าไหร่$

วิธีที่ไม่ต้องใช้ความรู้อะไรมากนัก คือกระจาย $(a+b)^n$ โดยใช้สามเหลี่ยม Pascal จากนั้นจัดรูป

$(a+b) = -c ...(1)$

$(a+b)^5 = (-c)^5$

$a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5 = -c^5$

$a^5+b^5+c^5+5ab(a^3+b^3)+10a^2b^2(a+b) = 0$

$a^5+b^5+c^5+5ab(a+b)(a^2-ab+b^2+2ab)=0$

$a^5+b^5+c^5+5ab(a+b)(a^2+b^2+ab)=0 ...(2)$

จากสมการ (1) จะได้ $a+b=-c$ และ $ab = \frac{c^2-b^2-a^2}{2}$

แทนลงในสมการ (1) จะได้

$a^5+b^5+c^5+5ab(-c)(a^2+b^2+\frac{c^2-b^2-a^2}{2}) = 0$

$a^5+b^5+c^5 = \frac{5}{2}abc(a^2+b^2+c^2)$

[CalerGs]

ครับๆ ขอบคุณมากครับ

[กิตติ]

อีกวิธีหนึ่ง...ผมขี้เกียจจำสามเหลี่ยมปาสกาล
$a+b+c=0$
$(a+b+c)^2= a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc) = 0$
$a^2+b^2+c^2 =-2(ab+ac+bc) = -2abc( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$
$abc( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) = \frac{(a^2+b^2+c^2)}{-2} $
$(a+b+c)^3= a^3+b^3+c^3+3abc(a+b+c)( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})-3abc = 0$
$a^3+b^3+c^3=3abc$
$(a^3+b^3+c^3)(a^2+b^2+c^2)= a^5+b^5+c^5+(abc)^2\left\{\,(a+b+c)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})\right\}- (abc)^2\left\{\,\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right\}$
$3abc\left\{\,a^2+b^2+c^2\right\} = a^5+b^5+c^5+\frac{abc}{2} \left\{\,a^2+b^2+c^2\right\} $
$a^5+b^5+c^5 = \frac{5}{2}abc \left\{\,a^2+b^2+c^2\right\} $

$k = \frac{5}{2}$

อีกวิธีหนึ่งที่น้องเนสได้เฉลยไว้ในกระทู้ตะลุยโจทย์ม.ต้น

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

จาก $a+b+c=0$ จะได้ $a^3+b^3+c^3=3abc$
คูณด้วย $a^2+b^2+c^2$ ทั้งสองข้าง จะได้
$(a^2+b^2+c^2)(a^3+b^3+c^3)=3abc(a^2+b^2+c^2)$ ซึ่งจะได้
ู$a^5+b^5+c^5+a^3(b^2+c^2)+b^3(a^2+c^2)+c^3(a^2+b^2)=3abc(a^2+b^2+c^2)$__(*)
จาก $a+b+c=0$ จะได้ $a+b=-c$ ยกกำลังสอง
จะได้ $a^2+b^2+2ab=c^2$ ในทำนองเดียวกันจะได้
$a^2+b^2=c^2-2ab$
$b^2+c^2=a^2-2bc$
$c^2+a^2=b^2-2ca$
นำไปแทนใน (*)
จะได้ว่า
$a^5+b^5+c^5+a^5-2bca^3+b^5-2acb^3+c^5-2abc^3=3abc(a^2+b^2+c^2)$
$2(a^5+b^5+c^5)-2abc(a^2+b^2+c^2)=3abc(a^2+b^2+c^2)$
นั่นคือ $a^5+b^5+c^5=\dfrac{5}{2}abc(a^2+b^2+c^2)$
เพราะฉะนั้น $k=\dfrac{5}{2}$

[nooonuii]

อีกวิธีซึ่งเป็นวิธีการทั่วไปในการหาความสัมพันธ์พวกนี้คือการใช้สูตรลดทอนของนิวตัน

$a^n+b^n+c^n=(a+b+c)(a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1})-(ab+bc+ca)(a^{n-2}+b^{n-2}+c^{n-2})+abc(a^{n-3}+b^{n-3}+c^{n-3})$

ดังนั้น

$a^5+b^5+c^5=(a+b+c)(a^4+b^4+c^4)-(ab+bc+ca)(a^3+b^3+c^3)+abc(a^2+b^2+c^2)$

$~~~~~~~~~~~~~~~=-(ab+bc+ca)(a^3+b^3+c^3)+abc(a^2+b^2+c^2)$

$a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)(a+b+c)+abc(1+1+1)$

$~~~~~~~~~~~~~~~=3abc$

ที่เหลือก็แค่หา $ab+bc+ca$ แต่

$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)$

$~~~~~~~~~~~~~~~=-2(ab+bc+ca)$

ดังนั้น

$a^5+b^5+c^5=\dfrac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)(3abc)+abc(a^2+b^2+c^2)$

$~~~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{5}{2}abc(a^2+b^2+c^2)$

สูตรสวยๆสำหรับโจทย์ข้อนี้ที่ผมจำไว้คือรูปนี้

$\dfrac{a^5+b^5+c^5}{5}=\Big(\dfrac{a^3+b^3+c^3}{3}\Big)\Big(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}\Big)$

[กิตติ]

ขอบคุณมากครับคุณNOOONUII....ผมได้ความรู้เรื่องสูตรลดทอนของนิวตันเพิ่มครับ
เพิ่งรู้จักวันนี้เองครับ สูตรนี้น่าสนใจครับ

[PGMwindow]

ขอบคุณครับ