พิสูจน์ทฤษฎี Group

[ShanaChan]

ให้ G เป็นกลุ่ม และ H เป็นสับเซตที่ไม่เป็นเซตว่างของ G
พิสูจน์ว่า H เป็นกลุ่มย่อยของ G ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุก a,b ใน H
a*(b^(-1)) เป็นสมาชิกของ H

ขาไปค่อนข้างชัดเจนแต่ขากลับทำอย่างไรอ่ะครับ

ปล.ขอโทษที่อาจจะถามคำถามที่(อาจจะ)ง่ายไปนะครับ ผมเพิ่งจะลองอ่านดูแล้วงง

ปล2. " สัญลักษณ์ (G,*) คือ G "เป็นกลุ่ม" ภายใต้ operation * " ถูกมั้ยครับ หรือไม่ใช่กลุ่มก็ได้

[Lekkoksung]

ตอนนี้เรามี $\emptyset \neq H \subseteq G$ แล้วเรียบร้อย
ขากลับ สมมติว่า $a,b^{-1} \in H$ for all $a,b \in H$

ชัดเจนว่า $(H,*)$ มีสมบัติการจัดหมู่

ต่อไปจะแสดงว่า $H$ มีเอกลักษณ์
เนื่องจาก $\emptyset \neq H$ ดังนั้นจะมี $a \in H$ จากสมมติฐานจะได้ว่า $e=a*a^{-1} \in H$

ต่อไปจะแสดงว่า $H$ มีตัวผกผัน
ให้ $x \in H$ ตอนนี้เรามี $e \in H$ แล้ว ดังนั้นจากสมมติฐาน ทำให้ได้ว่า $x^{-1}=e*x^{-1} \in H$

ต่อไปจะแสดงว่า $H$ ปิด
ให้ $a,b \in H$ จากการมีตัวผกผันเราจะได้ว่า $b^{-1} \in H$ และจากสมมติฐานเราได้ว่า $a*b=a*(b^{-1})^{-1} \in H$

นั่นคือ $(H,*)$ เป็นกรุปครับ