โจทย์สนุกๆ

[Metamorphosis]

โจทย์จะคล้ายๆกับครั้งที่แล้ว

1. กำหนดสมการ $x^3-7kx-4k = 0$ มี $a,b,c$ เป็นราก และ $k$ เป็นจำนวนเต็ม $a^2 = 6-\sqrt{32}$ และ $a<0$
จงหาค่าของ $a^4+b^4+c^4$

2. จงแก้สมการ $\dfrac{2^x+2^{-x}}{3^x+3^{-x}} = \dfrac{4^x+4^{-x}}{9^x+9^{-x}}$

3. จงหาเซตคำตอบ $\dfrac{1}{x^3} +\dfrac{1}{x^5} +\dfrac{1}{x^7} +..+\dfrac{1}{x^{15}} \leqslant \dfrac{7}{x^9} $

4. ให้ $k\in \mathbb{R} $ หา $k$ ที่ทำให้ $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) =k$ มีรากเป็นจำนวนจริงทั้งหมด

5. จงหา $ x\in \mathbb{R} $ ทั้งหมดที่ทำให้ $4x^2-40[x]+51 = 0$ (hint : $x-1<[x]\leqslant x$ และ $[x] \leqslant x < x+1$)

[จูกัดเหลียง]

1. หาวิธีดีๆไม่ได้เลย (มีเเต่ถึกๆ = =")
2.$0$ มั้งครับ
3. ...
4. $k\ge 6$
5. ...

[Metamorphosis]

ถูกข้อเดียวครับ (ข้อ 2) sol มาก็ดีนะครับ จะได้ตรวจไอเดียว่าผิดตรงไหน

[Nts bestccs]

คิดไม่ออกครับ -_____________-

[Metamorphosis]

ขอโทษด้วยครับ กำหนด k เป็นจำนวนเต็มนะครับ ข้อแรก

[จูกัดเหลียง]

#5 งั้นก็ไม่มีคำตอบไม่ใช่หรือครับ
เพราะจำนวนจริงทุกตัวเป็นคำตอบ - -*

ปล. ข้อ 1. เลขสวยมั้ยนา -_-"

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

#5 งั้นก็ไม่มีคำตอบไม่ใช่หรือครับ
เพราะจำนวนจริงทุกตัวเป็นคำตอบ - -*

ปล. ข้อ 1. เลขสวยมั้ยนา -_-"

สับสนระหว่างข้อ 1 กับ ข้อ 4 ปะครับ

[Ulqiorra Sillfer]

เอ่อ ข้อ4 ผมคิดได้ k มากกกว่าเท่ากับ 19599 อะครับ ไม่แน่้ใจเล๊ยถูกไหมเอ่ย = =

[Metamorphosis]

เอิ่ม ยังไม่ใช่อะครับ ยากไปรึุปล่าว = =''

ข้อ 1 เราได้อะไรจาก k เป็นจำนวนเต็ม (ถ้า a เป็นอตรรกยะ b หรือ c ควรจะเป็นอะไร จึงจะได้ k เป็นจำนวนเต็ม)
ข้อ 2
ข้อ 3 Am-gm ie
ข้อ 4 จับคูณเป็นคู่ๆ และสมมุติตัวแปร + Discriminant(แยก case ก่อนนะ)
ข้อ 5 เอิ่ม hint $P(x) \leqslant 0 < Q(x)$

[Ulqiorra Sillfer]

แสดง ข้อ 4 ที ครับผมก็จับคู่ถูกแล้วก็ใแก้สมการกำลังสองสองครั้ง แล้วก็ได้ว่า ข้างในรูท ต้องมากกว่าเท่ากับ 0 ไม่รู้ไปทำไรผิดตรงไหน
หรือจะตอบมากกว่าเท่ากับ 611.5 ครับ

[wee]

เรียนถามคุณ Metamorphosis
ข้อที่ 2 ผมทำถูกหรือไม่ครับ

[samsenwit]

ข้อแรกใช้แยก ตปกได้มั้ยครับ

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis

5. จงหา $ x\in \mathbb{R} $ ทั้งหมดที่ทำให้ $4x^2-40[x]+51 = 0$ (hint : $x-1<[x]\leqslant x$ และ $[x] \leqslant x < x+1$)

ใช้ $[x] \le x \le [x]+1$ น่าจะเข้าใจง่ายกว่านะๆ

สมการแปลงร่างเป็น $$[x]=\frac{4x^2+51}{40}$$ แทนลงไปในอสมการอันแรกก่อนเป็น $$\frac{4x^2+51}{40} \le x$$ $$4x^2-40x+51\le 0$$ $$(2x-3)(2x-17) \le 0$$ $$x \in \left(\,\frac{3}{2},\frac{17}{2}\right) $$
และแทนในอสมการอันหลังเป็น $$ x \le \frac{4x^2+51}{40}+1$$ $$4x^2-40x+91 \ge 0$$ $$(2x-7)(2x-13) \ge 0$$ $$x \in \left(\,-\infty,\frac{7}{2}\right) \cup \left(\, \frac{13}{2},\infty \right) $$
รวมกันได้ $$x \in \left(\, \frac{3}{2},\frac{7}{2}\right) \cup \left(\, \frac{13}{2},\frac{17}{2} \right) $$
นั่นคือค่า $[x]$ ที่เป็นไปได้คือ $1,2,3,6,7,8$ ลองแทนในสมการ $$x=\sqrt{\frac{40[x]-51}{4}}$$ แล้วเช็คดูว่า x ค่าใดที่สอดคล้อง $[x]=...$ ที่ใส่ลงไป

พบว่ามี $[x]=2$ ให้ค่า $x=\frac{\sqrt{29}}{2} \approx 2.69$

$[x]=6$ ให้ค่า $x=\frac{\sqrt{189}}{2} \approx 6.87$

$[x]=7$ ให้ค่า $x=\frac{\sqrt{229}}{2} \approx 7.57$

$[x]=8$ ให้ค่า $x=\frac{\sqrt{269}}{2} \approx 8.20$

คำตอบเป็น $\frac{\sqrt{29}}{2},\frac{\sqrt{189}}{2},\frac{\sqrt{229}}{2},\frac{\sqrt{269}}{2}$

[PP_nine]

อ้าวเห็นถกเถียงข้อ 1 กัน เลยนึกว่าเฉลยไปแล้ว

ยังไม่มีคนเฉลยก็มาเฉลยให้ละกัน

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis

1. กำหนดสมการ $x^3-7kx-4k = 0$ มี $a,b,c$ เป็นราก และ $k$ เป็นจำนวนเต็ม $a^2 = 6-\sqrt{32}$ และ $a<0$
จงหาค่าของ $a^4+b^4+c^4$

ข้อนี้ใช้ทฤษฎีพหุนามครับ ที่ว่า

ถ้าพหุนาม $p(x) \in \mathbb{Q}[x]$ มี $a+\sqrt{b}$ เป็นรากหนึ่งแล้ว $p(x)$ จะมี $a-\sqrt{b}$ เป็นอีกราก (หรือจะสลับสองตัวนี้ก็ได้)

โดยที่ $a \in \mathbb{Q}$ และ $b \in \mathbb{Q}$ แต่ $\sqrt{b} \not\in \mathbb{Q}$

ขั้นตอนแรกหา a ก่อนได้ $a=-\sqrt{6-2\sqrt{8}}=-(\sqrt{4}-\sqrt{2})=-2+\sqrt{2}$

ขั้นต่อมาก็ใช้ทฤษฎีดังกล่าว เพื่อให้ได้ว่า $b=-2-\sqrt{2}$ ก็เป็นอีกรากของสมการพหุนามข้างต้น

และโดย Vieta's formula ก็จะได้ว่า $a+b+c=$ -(สปส.หน้า $x^2$) $=0$

แทน $a=-2+\sqrt{2}$ และ $b=-2-\sqrt{2}$ ก็จะได้ $c=4$ เป็นอีกรากหนึ่ง (ไม่ต้องใช้ข้อมูลจาก $x^3$-7k$x$-4k$ = 0$ ก็ทำได้นะครับ ใช้แค่ว่ามันเป็นจำนวนเต็ม )

สรุป $a^4+b^4+c^4=392$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis

3. จงหาเซตคำตอบ $\dfrac{1}{x^3} +\dfrac{1}{x^5} +\dfrac{1}{x^7} +..+\dfrac{1}{x^{15}} \leqslant \dfrac{7}{x^9} $

$$\dfrac{1}{x^3} +\dfrac{1}{x^5} +\dfrac{1}{x^7} +..+\dfrac{1}{x^{15}} \leq \frac{7}{x^9}$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{1}{x^3} +\dfrac{1}{x^5} +\dfrac{1}{x^7} +\frac{1}{x^{11}}+\frac{1}{x^{13}}+\frac{1}{x^{15}}\leq \frac{6}{x^{9}}$$
กรณี $x<0$
$$ \dfrac{1}{x^2} +\dfrac{1}{x^4} +\dfrac{1}{x^6} +\frac{1}{x^{10}}+\frac{1}{x^{12}}+\frac{1}{x^{14}}\ge \frac{6}{x^{8}}$$
ซึ่งจริงเสมอ $\therefore x<0$
กรณี $x\ge 0$
โดย A.M-G.M $$\dfrac{1}{x^3} +\dfrac{1}{x^5} +\dfrac{1}{x^7} +\frac{1}{x^{11}}+\frac{1}{x^{13}}+\frac{1}{x^{15}}\ge\frac{6}{x^{9}}$$
$\therefore $ มีเพียงกรณีเดียวคือ $\frac{1}{x^3}=\frac{1}{x^5}=\frac{1}{x^7}=...=\frac{1}{x^{15}}$ หรือ คำตอบคือ $x= 1$

$\rightarrow x\in (-\infty ,0)\cup \left\{\,1\right\} $