โจทย์สนุกคิด

[Macgyver]

ช่วยคิดหน่อยครับ

1.จงหาค่าของ $\sqrt[64]{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)....(2^{64}+1)+1}$

2.จงคำนวณค่าของ $\sqrt{11...1 -22...2 }$ มี '1' 4002 ตัว และมี '2' 2001 ตัว

3.ถ้า $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงซึ่ง $3^x = 4^y = 12^z$ จงคำนวณค่าของ $\frac{z}{x}+\frac{z}{y}$

4.ถ้า $(2^a+1)(4^b+1) = 3^c+1$ โดยที่ $a , b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ลบซึ่งมีค่าต่างกันทั้งหมด

จงหาผลบวกของ a , b และ c ที่มีค่าน้อยสุดเท่าที่เป็นไปได้ (ข้อแนะนำ $3^c+1$ เป็นจำนวนคู่เสมอใช่หรือไม่)

5.จงหาหลักหน่วยของ $3^{33}$

ขอวิธีคิดด้วยครับ จะได้ศึกษาวิธีทำ

[James007]

1.$\sqrt[64]{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)\ldots(2^{64}+1)+1}$
$=\sqrt[64]{(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)\ldots(2^{64}+1)+1}$
$=\sqrt[64]{(2^{128}-1)+1}$
$=\sqrt[64]{2^{128}}=2^2=4$
2.ตอบ $\underbrace{333\ldots333}_{2001}$
3.จาก $3^x=12^z$ จะได้ $3=12^\frac{z}{x}\ldots (1)$
ในทำนองเดียวกัน $4=12^\frac{z}{y}\ldots (2)$
$(1)\times (2); 12=12^{\frac{z}{x}+\frac{z}{y}}$
$\therefore \frac{z}{x}+\frac{z}{y}=1$
4.เนื่องจาก $3^c+1$ เป็นจำนวนคู่เสมอ (เมื่อ $c$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ)
ดังนั้น $2^a+1$ หรือ $4^b+1$ ต้องเป็นจำนวนคู่
โดยเงื่อนไขของโจทย์ จะได้ว่า $a=0,b=1,c=2$ หรือ $a=1,b=0,c=2$
$\therefore a+b+c=3$
5.$3^{33}=9^{16}\cdot 3 \equiv (-1)^{16}\cdot 3 \equiv (1)\cdot 3\equiv3\pmod{10}$
ดังนั้น หลักหน่วยของ $3^{33}$ คือ $3$

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Macgyver

ช่วยคิดหน่อยครับ

1.$จงหาค่าของ\sqrt[64]{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)....(2^{64}+1)+1}$

2.$จงคำนวณค่าของ\sqrt{11...1 มี4002ตัว-22...2 มี2001ตัว}$

3.$ถ้า x,y,z เป็นจำนวนจริงซึ่ง 3^x = 4^y = 12^z จงคำนวณค่าของ\frac{z}{x}+\frac{z}{y}$

4.$ถ้า (2^a+1)(4^b+1) = 3^c+1 โดยที่ a , b และ c เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ลบซึ่งมีค่าต่างกันทั้งหมด จงหาผลบวกของ a , b และ c ที่มีค่าน้อยสุดเท่าที่เป็นไปได้ (ข้อแนะนำ 3^c+1 เป็นจำนวนคู่เสมอใช่หรือไม่)$

5.$จงหาหลักหน่วยของ 3^{33}$

ขอวิธีคิดด้วยครับ จะได้ศึกษาวิธีทำ

ผมว่า โจทย์ข้างบนนี้ รู้สีกว่ามีคนเคยโพสต์ถามแล้วครับ ลองค้นดูกระทู้เก่าดู


รู้สึกว่ามีข้อ 4 ที่อาจจะยังไม่ได้มีการโพสต์ ซึ่งมีแนวคิดดังนี้
โจทย์กำหนด $ (2^a+1)(4^b+1) = 3^c+1$ จะเห็นว่าถ้า $c\geqslant 0$ จะได้ว่า $3^c+1$ เป็นจำนวนคู่เสมอ
และ $ (2^a+1)$ เป็นจำนวนคี่เสมอเมื่อ $a\geqslant 1$ และ $(4^b+1)$ เป็นจำนวนคี่เสมอเมื่อ $b\geqslant 1$
ดังนั้น a ต้องเป็น 0 หรือ b ต้องเป็น 0 ต่อจากนั้นอาศัยการสังเกตและข้อกำหนดของโจทย์ ที่ a, b, c เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบและต้องการหาผลบวกที่น้อยที่สุด ซึ่งก็จะได้คำตอบเป็น

คำตอบคือ

$a=0, b=1,c =2 ; a+b+c = 3$

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ James007

1.$\sqrt[64]{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)\ldots(2^{64}+1)+1}$
$=\sqrt[64]{(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)\ldots(2^{64}+1)+1}$
$=\sqrt[64]{(2^{64}-1)+1}$
$=\sqrt[64]{2^{64}}=2$
2.ตอบ $\underbrace{333\ldots333}_{2001}$
3.จาก $3^x=12^z$ จะได้ $3=12^\frac{z}{x}\ldots (1)$
ในทำนองเดียวกัน $4=12^\frac{z}{y}\ldots (2)$
$(1)\times (2); 12=12^{\frac{z}{x}+\frac{z}{y}}$
$\therefore \frac{z}{x}+\frac{z}{y}=1$
4.เนื่องจาก $2^a+1$ และ $4^b+1$ เป็นจำนวนคี่ ดังนั้น $(2^a+1)(4^b+1)$ เป็นจำนวนคี่ แต่ $3^c+1$ เป็นจำนวนคู่
ดังนั้นไม่มี $a,b,c\in \mathbb{Z}+\left\{\,0\right\} $ ที่สอดคล้องกับสมการ $(2^a+1)(4^b+1) = 3^c+1$
5.$3^{33}=9^{17}\cdot 3 \equiv (-1)^{17}\cdot 3 \equiv (-1)\cdot 3\equiv -3\equiv 7 \pmod{10}$
ดังนั้น หลักหน่วยของ $3^{33}$ คือ $7$

ผมว่าข้อ 1 ตอบ 4 นะครับ
ส่วนข้อ 4 ก็มีคำตอบครับ
ข้อ 5 หลักหน่วยเป็นเลข 3 ครับ

[Mathophile]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ James007

1.$\sqrt[64]{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)\ldots(2^{64}+1)+1}$
$=\sqrt[64]{(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)\ldots(2^{64}+1)+1}$
$=\sqrt[64]{(2^{64}-1)+1}$ ..........(*)
$=\sqrt[64]{2^{64}}=2$

ตรง (*) น่าจะเป็น $=\sqrt[64]{(2^{128}-1)+1}$ นะครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ James007

4.เนื่องจาก $2^a+1$ และ $4^b+1$ เป็นจำนวนคี่ ดังนั้น $(2^a+1)(4^b+1)$ เป็นจำนวนคี่ แต่ $3^c+1$ เป็นจำนวนคู่
ดังนั้นไม่มี $a,b,c\in \mathbb{Z}+\left\{\,0\right\} $ ที่สอดคล้องกับสมการ $(2^a+1)(4^b+1) = 3^c+1$

$2^a+1$ สามารถเป็นจำนวนคู่ได้ เมื่อ $a=0$ ($4^b+1$ ก็เป็นได้เหมือนกัน)

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ James007

5.$3^{33}=9^{17}\cdot 3 \equiv (-1)^{17}\cdot 3 \equiv (-1)\cdot 3\equiv -3\equiv 7 \pmod{10}$
ดังนั้น หลักหน่วยของ $3^{33}$ คือ $7$

น่าจะเป็น $3^{33}=9^{16}\cdot 3$ นะครับ
คิดตามวิธีของคุณ James007 จะได้หลักหน่วยคือ 3 ครับ

อีกวิธีนึงคือ ลองสังเกตหลักหน่วยของ $3^1,3^2,3^3,3^4,...$ ไปเรื่อยๆ
จะเห็นว่ามีการซ้ำกันเป็นคาบ 4 ตัว คือ $3,9,7,1,3,9,7,1,...$
นั่นคือพจน์ที่ 4,8,12,... จะมีหลักหน่วยคือ 1
ฉะนั้น หลักหน่วยของพจน์ที่ 32 ก็คือ 1
ทำให้ หลักหน่วยของพจน์ที่ 33 คือ 3 $(=1\times 3)$

ปล. ถึงคุณ Macgyver
เวลาครอบ Latex ด้วย \$ ให้ครอบเฉพาะส่วนที่เป็น code ก็พอครับ
เพราะจะทำให้ข้อความปกติไม่ถูกแบ่งบรรทัด และบอร์ดจะยาวผิดปกติ
(ตัวอย่างคือ ข้อ 4 ในความเห็นของคุณ Macgyver ครับ)

[thebigbenz]

คุณ James007 ครับ
ข้อ 5. 3^33 = 9^16*3 ไม่ใช่เหรอครับ
ถูกผิดยังไงบอกด้วยนะครับ
ผมคิดได้ 3 อ่ะครับ ใช้วิธีเดียวกัน

[Anonymer]

ข้อ 1 ตอบ 4 ค่ะ ลองใช้ Math Inductin ดูค่ะ แทน n= 1, 2, 3 ดูแล้วจะได้ทุกค่าเท่ากันค่ จะได้ n= 64 ก็มีค่าเป็น 4 ด้วยค่ะ

[Macgyver]

$ขอบคุณครับ \ แต่ผมมีปัญหา\ 3\ ข้อครับคือ$

$1.\ ขอรบกวนพี่ช่วยสอนวิธีคิดข้อ\ 1\ กับ\ 2\ หน่อยจะได้มั้ยครับ ข้ออื่นผมคิดได้แล้วครับ$

$2.\ Math Induction \ คืออะไรหรอครับ$

$3.ช่วยสอนวิธีคิดข้อนี้ด้วยครับ \ 2^{60} \ หารด้วย \ 7 \ เหลือเศษเท่าใด$

[t.B.]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Macgyver

$ขอบคุณครับ \ แต่ผมมีปัญหา\ 3\ ข้อครับคือ$

$1.\ ขอรบกวนพี่ช่วยสอนวิธีคิดข้อ\ 1\ กับ\ 2\ หน่อยจะได้มั้ยครับ ข้ออื่นผมคิดได้แล้วครับ$

$2.\ Math Induction \ คืออะไรหรอครับ$

$3.ช่วยสอนวิธีคิดข้อนี้ด้วยครับ \ 2^{60} \ หารด้วย \ 7 \ เหลือเศษเท่าใด$

คำถามแรก วิธีคิดข้อ1 คือใช้ผลต่างกำลังสองไปเรื่อยๆ $a-b)(a+b)=a^2-b^2$ ส่วนข้อสองนั้นผมคิดตรงๆไม่มีเทคนิคอะไร อาจจะสังเกตจากพจน์ที่จำนวนตัวน้อยๆก่อนก็จะเห็นแนวโน้ม
คำถามสอง คือ การพิสูจน์อุปนัย
คำถามสาม $2^3\equiv 1 (mod 7)$ จะได้ว่า $2^{60}\equiv 1^{20}=1 (mod 7) $ด้วย ดังนั้นเหลือเศษ 1

[คusักคณิm]

สนุกเเบบง่วงๆอ่ะ

[Macgyver]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ t.B.

คำถามสาม $2^3\equiv 1 (mod 7)$ จะได้ว่า $2^{60}\equiv 1^{20}=1 (mod 7) $ด้วย ดังนั้นเหลือเศษ 1

$ \ พี่ครับ \ mod \ คืออะไรครับ \ แล้วเครื่องหมายนี่ \ \equiv \ ด้วยครับ มันหมายถึงอะไร \ พี่ช่วยอธิบายหน่อยนะครับ $

$ \ และถ้าจะใช้วิธีคิดธรรมดาคิดยังไงครับ$

[t.B.]

$\equiv $ อ่านว่า คอนกรูเอนต์ ส่วน mod เป็นตัวย่ออ่านว่า มอต เขียนเต็มๆคือ modulo(มอตดูโล)
สัญลักษณ์พวกนี้ใช้แทนคำพูดที่ว่า
5-1 แล้วหาร 4 ลง ตัว เขียนใหม่ได้ว่า $5\equiv 1 (mod4)$ เหตุที่ไม่เขียนเป็นภาษาไทยเพราะมันไม่เป็นสากล ไม่นิยมใช้กัน ส่วนสมบัติต่างๆของ คอนกรูเอนต์ นั้นหาอ่านได้ตามหนังสือ ทฤษฏีจำนวนเบื้องต้น ทั่วไป
ส่วนวิธีอื่นนอกจากคิดตรงๆแล้ว ผมก็ไม่ขอฟันธงว่ามีหรือไม่มีนะครับ ใครจะรู้ถึงตอนนี้ถ้าบอกไปว่าไม่มี ในอนาคตอาจจะมีคนคิดวิธีใหม่ได้ก็ได้

ปล.คอนกรูเอนต์และมอตดูโลสร้างมาเพื่อใช้หาเศษเป็นส่วนใหญ่

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Macgyver

$ขอบคุณครับ \ แต่ผมมีปัญหา\ 3\ ข้อครับคือ$


$3.ช่วยสอนวิธีคิดข้อนี้ด้วยครับ \ 2^{60} \ หารด้วย \ 7 \ เหลือเศษเท่าใด$

มีอีกวิธีที่ไม่ต้องใช้ mod แต่ก็ต้องรู้เรื่อง ทฤษฎีทวินาม ครับ
แนวคิด
$ 2^{60} = (2^3)^{20} = (7+1)^{20}$

$=\binom{20}{0} 7^{20}+\binom{20}{1} 7^{19}(1)+\binom{20}{2} 7^{18}(1)^2+...+\binom{20}{20}(1)^{20}$
จะเห็นว่าทุกพจน์มี 7 เป็นตัวประกอบยกเว้นพจน์สุดท้ายคือ 1 ดังนั้นเศษที่เหลือควรเป็น....
แต่ถ้าไม่รู้เรื่อง ทฤษฎีทวินาม ก็คงต้องกระจายคูณแล้วสังเกตรูปแบบดูแล้วละครับ

[Macgyver]

$ขอบคุณมากครับ$