ข้อสอบเพชรยอดมงกุฏ มัธยมต้น 2552

[Siren-Of-Step]

ข้อ 16 หา $xy+yz+zx$ ให้ได้ก่อน และ จะแทน สมการไหน ลงไป เพื่อ หา $xy,yz,zx$ ต่อจากนั้นก็แก้ตามปกติ

[Siren-Of-Step]

ข้อ 18 ตอบ 0 hint : เราได้เลขลงท้ายของ $1^5+2^5+..+9^5$ มาแล้ว ซึ่งคือ .... นำเลขนั้นไป คูณ 10 จะได้ ...

[banker]

$\sqrt{4 x^2-7 x-15} - \sqrt{x^2-3 x} = \sqrt{x^2-9} $

$\sqrt{(4x+5)(x-3)} - \sqrt{x(x-3)} = \sqrt{(x+3)(x-3)} $

แสดงว่า $x-3$ เป็นตัวประกอบหนึ่งของสมการข้างต้น จะได้ $a = 3$

$\frac{a-1}{a+1} = \frac{3-1}{3+1} = \frac{1}{2}$

ตอบ ข้อ 1

[Siren-Of-Step]

เก็บตกข้อง่ายก่อน
ข้อ 23 จัดรูปนึดหน่อยได้ $-x^{32} + x^{16} + 4x^8 - 3x^4 + 5x^2 +x$
ให้ $-x^{32} + x^{16} + 4x^8 - 3x^4 + 5x^2 +x = p(x) = x^2-1(q(x)) + ax+b$ โดย q(x) เป็นผลหาร และ $a,b$ เป็นค่าคงตัว
$p(1) = 7 = a+b$
$p(-1) = 5= -a +b$

$a = 1 , b = 6$
เพราะฉะนั้น จะได้ว่าเศษคือ $x+6$

[Siren-Of-Step]

ข้อ 27 สังเกตว่า $101^2 + 101 +1 = 102^2 - 102 +1$
$102^2+102+1 = 103^2-103+1$

จะได้ $\dfrac{100*101}{103*104}$
$\dfrac{25*101}{103*26}$ ซึ่งเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

ตอบ $5203$

[Siren-Of-Step]

ข้อ 40
เราจะได้ว่า$ (x-5)(x-3y)(x-y) = x^3-ax^2 + 52x -b = 0$
$4y +5 = a$
$3y^2 +20y = 52 \Leftrightarrow y = 2$
$15y^2=b$
ทำได้ $b= 60 , a = 13 , a+b = 73$

[Siren-Of-Step]

แซะข้อง่าย ๆ ก่อน
ข้อ 32 จากโจทย์ $P(1) = P(2) = P(3) = ... = P(2553) = 0$
$P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)...(x-2553)$
$P(0) = -2553!$

[Siren-Of-Step]

ข้อ 26
จะได้ $a = 2553$
หา $b$ จัดรูปจะได้ ว่า $b = 1+2+3+4+...+2010 - 2(1+3+5+....+2009)$
$2021055 - 2020050 = 1005$
$a-b = 1548$ ซึ่ง $8$ หาร $1548$ ไม่ลงตัว
ตอบ $8$

[Ne[S]zA]

ให้ $P(x)=(3x^2-2x-2)^{ 2553} (2x^2-3x+2)^{ 2010}$
จะได้ $P(1)=(3-2-2)^{2552}(2-3+2)^{2010}=(-1)(1)=-1$

[Siren-Of-Step]

รบกวนขอวิธีทำ / hint ข้อ $10-12$ ด้วยครับ ขอบคุณล่วงหน้าครับ ๆ

[nooonuii]

ข้อ $10$ ถ้าทำแบบม.ต้นก็จะยาวหน่อย วิธีคิดต่อไปนี้เอาไว้เช็คคำตอบก็แล้วกันนะครับ

สมการเขียนได้เป็น $(a+b)(a^2+b^2)=2001=3\cdot 23\cdot 29$

จึงได้ $(a+b)(a^2+b^2)\equiv 1\pmod{4}$

แต่ $a^2+b^2\equiv 0,1,2\pmod{4}$ เท่านั้น

จึงได้ $a^2+b^2\equiv 1\pmod{4}$

ดังนั้น $a+b\equiv 1\pmod{4}$

สังเกตนิดนึงว่า $a+b>0$ เพราะว่า $a^2+b^2>0$ ไปแล้ว และสังเกตด้วยว่า $a+b<a^2+b^2$

แต่คู่ตัวประกอบของ $2001$ ที่เป็นบวกและหารด้วย $4$ เหลือเศษ $1$ ทั้งคู่มีแค่ $1,2001$ เท่านั้น

ดังนั้น $a+b=1$ และ $a^2+b^2=2001$ ซึ่งแก้ระบบสมการแล้วเป็นไปไม่ได้

สรุปคือสมการนี้ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม

[nooonuii]

11. Hint: พิสูจน์ว่า $\displaystyle{\sum_{d|N}d=\sum_{d|N}\dfrac{N}{d}}$

สูตรนี้จริงสำหรับทุกจำนวนนับครับ

[nooonuii]

12. ถามกันหลายรอบแล้วล่ะครับ วิธีทำตรงๆก็หาตัวหารบวกของ $N$ ออกมาให้หมดครับ หาได้ไม่ยาก

[banker]

ดูเหมือนเคยโพสต์แล้ว

http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=8298

[{([Son'car])}]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

Attachment 3539

ตอบ ข้อ 1

ขอขุดหน่อยครับ พอดีผมแทนค่า a = 4 และ b = -3 แล้วข้อ ก ไม่เป็นจริงอ่ะครับ!!!