ข้อสอบประกายกุหลาบ ม.ต้น ครั้งที่ 10 ปี 2555

[banker]

โดยสามเหลี่ยมคล้าย ได้ด้านและพื้นที่ดังรูป


$x^2 = (10-x)(14-x)$

$x = \frac{35}{6}$

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

s

เลขไม่สวยเลยครับ ใครช่วยเฉลยที

$\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{y^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{z^2+1}} \leq \dfrac{\sqrt{2}}{x+1}+\dfrac{\sqrt{2}}{y+1}+\dfrac{\sqrt{2}}{z+1}$

$ \leq \sqrt{2}\left(\,\dfrac{xy+yz+zx+2(x+y+z)+3}{xyz+xy+yz+zx+x+y+z+1}\right)$

$= \sqrt{2} \left(\,1+\dfrac{2}{(x+1)(y+1)(z+1)}\right) $

$\leq \sqrt{2}(1+\dfrac{1}{4\sqrt[4]{27}})$

มาบรรทัดสุดท้ายใช้ อสมการ อะไรหรอครับ

[กิตติ]

$\sin^6A-\cos^6A=(\sin^2A-\cos^2A)(\sin^4A+\sin^2A\cos^2A+\cos^4A)$
$\sin^2A-\cos^2A=2\sin^2A-1=\frac{\sqrt{3} }{2} $
$\sin^4A+\sin^2A\cos^2A\cos^4A=\frac{15}{16} $
$(\sin^2A+\cos^2A)^2-\sin^2A\cos^2A=\frac{15}{16}$
$\frac{1}{16}-\sin^2A\cos^2A=0$
$\sin A \cos A=\pm \frac{1}{4} $
เนื่องจาก $A$ เป็นมุมในQ1 ดังนั้น $\sin A \cos A>0$
เหลือคำตอบเดียวคือ $\frac{1}{4} $

[กิตติ]

แปลงตรงส่วนคือ $(\sin 5^\circ +\cos 5^\circ+1)(\sin 5^\circ +\cos 5^\circ-1)$
$=(\sin 5^\circ +\cos 5^\circ)^2-1$
$=2\sin 5^\circ \cos 5^\circ=\sin 10^\circ$

$\sqrt{3}\cos 50^\circ -\sin 50^\circ $
$=2\left(\,\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 50^\circ -\frac{1}{2}\sin 50^\circ \right) $
$=2\left(\, \cos 30^\circ\cos 50^\circ -\sin 30^\circ\sin 50^\circ \right)$
$=2(\cos (30^\circ+50^\circ))$
$=2\cos 80^\circ =2\sin10^\circ$

ข้อนี้ตอบ $2$

[กิตติ]

ขอบคุณลุงBankerมากครับ ช่วยตัดโจทย์เป็นข้อๆให้ ง่ายต่อการดูครับ



ตีความว่ารถมีที่นั่ง 4 ที่ รวมที่นั่งคนขับด้วย
แบ่งเป็นสองงาน
1.เลือกคนขับรถ
2.จัดที่นั่งให้คนที่เหลือ
เลือกคนขับรถได้ 3 วิธี
จัดที่นั่งให้คนที่เหลือ มีอยู่ 3 ที่แต่มีคนรอขึ้น 6 คน แต่ละที่นั่งถือว่าแตกต่างกันหมด ดังนั้นเลือกนั่งได้ $6\times 5\times 4$ เท่ากับ $120$ วิธี
เนื่องจากเป็นงานต่อเนื่องกัน นำจำนวนวิธีมาคูณกันได้ $120\times 3$ เท่ากับ $360$ วิธี

[กิตติ]

จัดรูปแบบ
$a^2+1=b^2-24b+144$
$a^2-(b-12)^2=-1$
$(a+b-12)(a-b+12)=-1$
แยกเป็น
1.$(a+b-12)=1$ และ $(a-b+12)=-1$
แก้สมการได้ $a=0,b=13$
2.$(a+b-12)=-1$ และ $(a-b+12)=1$
แก้สมการได้ $a=0,b=11$

ค่าของ $a+b$ เท่ากับ $11,13$

[กิตติ]

$y+x=4$
$x^2+y^2+9x+9y-17=0$
$x^2+y^2+36-17=0$
$(4-y)^2+y^2+19=0$
$16-8y+y^2+y^2+19=0$
$2y^2-8y+35=0$
$2(y^2-4y+4)+27=0$
$2(y-2)^2+27=0$
ลองแก้สมการด้วยสูตร
$y=\frac{8\pm \sqrt{64-8(35)} }{4} $
ไม่รู้ว่าโจทย์ผิดหรือเปล่า เป็นจำนวนเชิงซ้อน

[กิตติ]

$A=1^2+3^2+5^2+...+99^2$
$B=2^2+4^2+...+100^2$
$A-B=(1^2-2^2)+(3^2-4^2)+...+(99^2-100^2)$
$A-B=-(1+2)-(3+4)-...-(99+100)$
$\left|\,A-B\right| =1+2+...+100$
$\left|\,A-B\right| =5050$

[กิตติ]

แบ่งเป็นช่วงๆว่า
1.$x\geqslant 5$
$(x-5)+(x-3)+(x+1)+(x-1)=8$
$x=4$
ไม่มีคำตอบ
2.$3 \leqslant x <5$
$-(x-5)+(x-3)+(x-1)+(x+1)=8$
$x=3$
3.$1\leqslant x <3$
$-(x-5)-(x-3)+(x+1)+(x-1)=8$
ไม่เหลือพจน์ $x$ แสดงว่าค่าของ $x$ ในช่วงของ $1\leqslant x <3$ เมื่อนำค่าไปแทนทุกค่าในช่วงนี้แล้วสมการเป็นจริง ดังนั้นค่าของ $x$ ที่น้อยที่สุดคือ $1$
4.$-1\leqslant x <1$
$-(x-5)-(x-3)+(x+1)-(x-1)=8$
$x=1$
ไม่มีคำตอบ
5.$x <-1 $
$(x-5)+(x-3)+(x+1)+(x-1)=-8$
$x=0$
ไม่มีคำตอบ

$a=1,b=3$
$(2a+b)^2=25$

[banker]

พื้นที่ b

= (พื้นที่เสี้ยวเล็กซ้าย) + (sector 60 องศา)

= (sector 60 องศา - พื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่า) + (sector 60 องศา)

= 2 (sector 60 องศา) - (พื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่า)

=$ 2 ( \frac{60}{360} \pi x^2) - (\frac{\sqrt{3} }{4}x^2)$

$= (\frac{1}{3} \pi - \frac{\sqrt{3} }{4})x^2$



พื้นที่ a

= สี่เหลี่ยมจัตุรัส - ครึ่งวงกลมรัศมี x + b

= $x^2 - \frac{1}{2} \pi x^2 \color{Red}{+} b $

= $(1 - \frac{1}{2} \pi)x^2 \color{Red}{+} b $



$\frac{a}{b} = \frac{(1 - \frac{1}{2} \pi)x^2 \color{Red}{+} b }{b} = \frac{(1 - \frac{1}{2} \pi)x^2 }{b} \color{Red}{+} 1 $

$ = \frac{(1 - \frac{1}{2} \pi)x^2 }{(\frac{1}{3} \pi - \frac{\sqrt{3} }{4})x^2} \color{Red}{+} 1 $

$ = \frac{(1 - \frac{1}{2} \pi) }{(\frac{1}{3} \pi - \frac{\sqrt{3} }{4})} \color{Red}{+} 1$

[banker]

สี่เหลี่ยมผืนผ้า = สี่เหลี่ยมมุมฉากทั้งหมด - สี่เหลี่ยมจัตุรัส

= $(1+2+3+..+7)(1+2+3+...+7)-(1^2+2^2+3^2+...+7^2)$

= 644

[banker]

นาทีที่0 มี 1000 ตัว

ครบ 1 รอบ (5นาที) มี $2^1 \times 10^3 \ $ ตัว

ครบ 2 รอบ ( x 5นาที) มี $2^2 \times 10^3 \ $ ตัว

ครบ 3 รอบ ( x 5นาที)มี $2^3 \times 10^3 \ $ ตัว
.
.
.
ครบ 12 รอบ (x 5นาที) มี $2^{12} \times 10^3 \ = 4.096 \times 10^6 \ $ ตัว

ดังนั้นผ่านไป 60 นาที (10.30 น. ) จึงเริ่มตาแดง

[banker]

พื้นที่ผิว = 2(ab + ac +bc) = 25.5
ab+ac+bc = $ \frac{51}{4}$ ....(1)

ปริมาตร = abc = 32 .......(2)

ความยาวสัน = 4(a+b+c) = 28

a+b+c = 7 .....(3)

$ (a+b+c)^2 = a^2+ b^2 + c^2 +2 a b+2 a c+2 b c= 49$

$a^2+b^2+c^2 = 49 - 2(\frac{51}{4}) = 49 - \frac{51}{2}$

จากเอกลักษณ์

$a^3+b^3+c^3 = 3abc + (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

$= 3(32) + (7)(49 - \frac{51}{2} - \frac{51}{4})$

$ = 96+ 72.25 = 171.25$

[banker]

แนนได้ a บาท ขายแล้วได้เงิน 1.05a บาท

นลได้ b บาท ขายแล้วได้เงิน 1.15b บาท

แน็ตได้ c บาท ขายแล้วได้เงิน 0.95c บาท

จะได้ว่า 1.05a = 1.15b = 0.95c

21a = 23b = 19c

21(23x19) = 23(21x19) = 19(21x23)

a = 23x19 = 437

b = 21x19 = 399

c = 21x23 = 483

เงินทุนรวม = 437+399+483 = 1319 บาท

[JSompis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

ขออภัยครับที่บอกว่าไม่มีคำตอบที่ถูก ของตอนที่1ข้อ.10น่ะ
จริงๆแล้ว ตอบ 25 องศา ตรงกับchoice1ครับ

$พ.ท.\triangle ABC=พ.ท.\triangle BCE\Rightarrow AE//BD$

$\therefore \angle 1=\angle 5.........(1)$

$2(\angle 2)=2(\angle 1)+\angle 3$

$\Rightarrow 2(\angle 1)+40^{\circ} =2(\angle1)+\angle 3$

$(\because \angle 2=\angle 1+20^{\circ})$

$\therefore \angle 3=40^{\circ} $ ซึ่งเป็น2เท่าของ$\angle BEC........(2)$

จาก(1)และ(2)แสดงว่าจุด$A$เป็นจุดศก.ของวงกลมที่มีเส้นรอบวงผ่านจุด$B,EและC$

$\therefore \angle 4=2(\angle 1)$

ดู$\triangle ABEจะได้4(\angle 1)+40^{\circ} =180^{\circ} $

$\therefore \angle 1=35^{\circ} $

แทนค่าในโจทย์ $(35^{\circ} +55^{\circ} +40^{\circ}) -(70^{\circ} +35^{\circ} )=25^{\circ} ตอบข้อ1$

งงครับ ทำไม $\angle 4=2(\angle 1)$ ได้ยังไง เพราะมันขัดกับกฏมุมแย้ง
จาก $\triangle ABC$ และ มุมแย้ง มันควรเท่ากับ
$\angle 4=180 - 2\angle 1 - 40 = 140 - 2\angle 1$