ฝึกพิสูจน์ ห.ร.ม.

[SolitudE]

มีแบบฝึกหัดในการพิสูจน์เกี่ยวกับคุณสมบัติของ ห.ร.ม. มานิดหน่อย

ซ้ำที่มีในบอร์ดนี้แล้วหรือเปล่า? ไม่แน่ใจ เพราะไม่ได้เช็คนะครับ

ง่าย? ยาก? ก็ลองทำดู (อาจจะตอบง่ายกันหมดเลย )

ถ้า $a,b,c,d \in \mathbb{N} = \left\{\,1,2,3,...\right\} $ แล้ว

(1) ถ้า $(a,b)=1=(c,d)$ และ $bd | ad+bc$ แล้ว $b=d$

(2) ถ้า $(ab,c)=1$ และ $k,s\in \mathbb{N} $ โดยที่ $c^{k+1} | ac^k+bc^s$ แล้ว $k=s$ และ $c | a+b$

(3) ถ้า $(a,b)=1$ และ $c | ab$ แล้วจะมี $s,t\in \mathbb{N} $ และมีเพียงชุดเดียวซึ่ง $c=st$ และ $s | a$ และ $t | b$

(4) ถ้า $k=b^2+b+1$ และ $(a,b)=1$ และ $c+1=a^k$ แล้ว $c | b$

(5) ถ้า $(a,b)=x, (a,c)=y, (b,c)=z$ และ $d$ เป็นตัวประกอบของ $a,b,c$ และ "ถ้า $k$ เป็นตัวประกอบของ $a,b,c$ แล้ว $k$ เป็นตัวประกอบของ $d$ ด้วย" แล้ว $d=(x,c)=(y,b)=(a,z)$

[Beatmania]

ข้อ 2 ผมทดแล้วมันไม่จริงอ่ะครับ

เช่น $(a,b,c) = (2,7,3)$

[Thgx0312555]

2) $s=k$ น่าจะจริงอยู่นะครับแต่น่าจะสรุปได้เพียง $c | (a+b)$
ถ้า $s<k$ จะได้ว่า $c^{k-s} \nmid ac^{k-s}+b$ นั่นคือ $c^k \nmid ac^k+bc^s$ ซึ่งขัดแย้ง
ถ้า $s>k$ จะได้ว่า $c \nmid a+bc^{s-k}$ นั่นคือ $c^{k+1} \nmid ac^k+bc^s$ ซึ่งขัดแย้ง

ดังนั้น $s=k$ ซึ่งแทนค่าไปจะได้ $c | (a+b)$

[Thgx0312555]

ข้อ 4 เหมือนจะไม่จริงนะครับ
เช่นแทนค่า b=1

[polsk133]

ขอบคุณครับโจทย์สนุกๆ

[SolitudE]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

2) $s=k$ น่าจะจริงอยู่นะครับแต่น่าจะสรุปได้เพียง $c | (a+b)$
ถ้า $s<k$ จะได้ว่า $c^{k-s} \nmid ac^{k-s}+b$ นั่นคือ $c^k \nmid ac^k+bc^s$ ซึ่งขัดแย้ง
ถ้า $s>k$ จะได้ว่า $c \nmid a+bc^{s-k}$ นั่นคือ $c^{k+1} \nmid ac^k+bc^s$ ซึ่งขัดแย้ง

ดังนั้น $s=k$ ซึ่งแทนค่าไปจะได้ $c | (a+b)$

ขออภัย พิมพ์โจทย์ผิดเล็กน้อยครับ