โจทย์น่าสน

[Siren-Of-Step]

เอามาจาก longlist mathcenter contest นะครับ เข้ามาช่วยกัน ๆ ทำ นะครับ เห็นว่าน่าสนใจ
1. กำหนด $n!=n(n-1)(n-2)...(3)(2)(1)$
ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่ง $$\frac{(n-1)!+n!+(n+1)!}{(n+1)!+(n+2)!-6n!}=\frac{2}{n}$$และให้ $f(x)=x^2-1$ และ $\tan \theta = \sqrt{\dfrac{f(n)+f(n+1)}{(f(n))^2+(f(n+1))^2}}$ โดย $0^{\circ} \leqslant \theta \leqslant 90^{\circ}$
จงหาค่าของ $\theta$
(เสนอโดยคุณ Ne[S]zA)
2. Lightlucifer
ให้ $a_1,a_2,...,a_{99}$ เป็นรากของสมการ $x^{99}-2x^{98}+3x^{97}+...+99x-100=0$
จงหา $(1-a_1)(1-a_2)(1-a_3)...(1-a_{99})$
3. Scylla_Shadow
จงคำนวณค่าของ $\frac{x}{2008}$ จากสมการ
$$(x-(x-(x-...(x-(x-(x-2008^2)^2)^2)^2)...)^2)^2=2008^2$$
เมื่อในนิพจน์ทางซ้ายมือมีการยกกำลังสองทั้งสิ้น 2008 ครั้ง
4.Scylla_Shadow
กำหนดให้ $w,x,y$ และ $z$ เป็นจำนวนเต็มบวกหนึ่งหลักที่แตกต่างกัน ซึ่ง $$72(wxy+wxz+wyz+xyz)=77wxyz$$
จงหาค่าของ $wxyz$
5. nooonuii
จงหาจำนวนเฉพาะ $p$ ทั้งหมดซึ่งทำให้ $p,p+10,p+20$ เป็นจำนวนเฉพาะทั้งสามจำนวน
6. Ne[s]zA
กำหนด $\sqrt[3]{(x-319)(x-8)+6}+\sqrt{7}=\sqrt{969x+1-(x+638)(x+4)}$ โดย $x\in \mathbb{R}$
ถ้า $x^2-327x+2552=a$ โดย $a \in \mathbb{R}$ แล้วจงหาค่าของ $\sqrt{\frac{2a+4\sqrt{a+13}+23}{2}}$
7. Scylla_Shadow
ให้ $a=x^2-2x+27$ จงหาคำตอบของสมการ $$1800 = (\sqrt{a-10}+\sqrt{a-1}+\sqrt{a+10})(\sqrt{a+10}\sqrt{a-1}\sqrt{a+10})$$
8. หาค่าของจำนวนจริง $x,y,z$ ที่สอดคล้องกับระบบสมการ
$$8(x+\frac{1}{x}) = 15(y+\frac{1}{y}) = 17(z+\frac{1}{z})$$
$$xy + yz + zx = 1$$
9.โดยไม่ใช้แคลคูลัส จงหาค่าของ $1x+2x^2+3x^3+4x^4+...$ เมื่อ $0\leqslant |x|<1$
Note. $1x+2x^2+3x^3+4x^4+...$ จะหาค่าได้ก็ต่อเมื่อ $0\leqslant |x|<1$
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)
10. ให้ $x$ เป็นจำนวนจริงโดยที่ $x\not= 0$ และ $1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}+...+\dfrac{1}{x^{2009}}=1$ จงหาค่าของ $x^{2009}+2009$
(เสนอโดยคุณ Ne[S]zA)
11. กำหนดให้ $a+b+c=1$ และ $a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3=a^4+b^4+c^4$ จงหาค่าของ $a^5+b^5+c^5$ [SIL]
12. จงพิสูจน์ว่า $2^n$ ไม่ลงท้ายด้วย $2552$ ทุกจำนวนนับ $n$

[Suwiwat B]

ขอลองข้อ 5 เเล้วกันนะครับ
ลองเเทนค่าเเล้ว $p \not= 2$ เเละ $p = 3$ เป็นตัวที่สอดคล้อง
เมื่อ $p \geqslant 5$ สามารถเขียน $p$ ในรูป $6a + 1$ หรือ $6a + 5$ ได้
$case 1 p = 6a + 1$ จะทำให้ $p + 20 = 6a + 21 = 3(2a + 7)$ นั่นคือ $3$ หาร $p$ ลงตัว
$case 2 p = 6a + 5$ จะทำให้ $p + 10 = 6a + 15 = 3(2a + 5)$ นั่นคือ $3$ หาร $p$ ลงตัว
ดังนั้นจำนวนนั้นมีจำนวนเดียวคือ $p = 3$

ข้อ 2 โจทย์น่าจะเป็น $x^ (99)−2x^ (98)+3x^ (97) -...+99x−100=0$ นะครับ
จะได้ว่า $(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_99) = x^(99)−2x^(98)+3x^(97) -...+99x−100$
แทน $x = 1$ จะได้ว่า $(1-a_1)(1-a_2)...(1-a_99) = 1-2+3-4+...+99-100 = -50$

ขอโทษด้วยนะครับ พิมพ์ Latex ไม่ค่อยเก่ง

[poper]

ข้อ 1) ครับ
$$\frac{(n-1)!+n!+(n+1)!}{(n+1)!+(n+2)!-6n!}=\frac{2}{n}$$ $$\frac{(n-1)[(1+n+n(n+1)]}{n![(n+1+(n+2)(n+1)-6]}=\frac{2}{n}$$ $$\frac{1}{n}\bigg[\frac{n^2+2n+1}{n^2+4n-3}\bigg]=\frac{2}{n}$$ $$n^2+2n+1=2n^2+8n-6$$ $$n^2+6n-7=0$$ $$(n-1)(n+7)=0$$
เนื่องจาก n มากกว่าหรือเท่ากับ 1
ดังนั้น $n=1$ ,$f(n)=f(1)=0$ ,$f(n+1)=f(2)=3$
$$tan\theta=\sqrt{\frac{f(n)+f(n+1)}{{(f(n))}^2+{(f(n+1))}^2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$\theta=30$$

[{([Son'car])}]

ข้อ9.โดยไม่ใช้แคลคูลัส จงหาค่าของ $1x+2x^2+3x^3+4x^4+...$ เมื่อ $0\leqslant |x|<1$
Note. $1x+2x^2+3x^3+4x^4+...$ จะหาค่าได้ก็ต่อเมื่อ $0\leqslant |x|<1$
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)

ให้$A=1x+2x^2+3x^3+4x^4+...$
$xA=\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1x^2+2x^3+3x^4+4x^5+...$
$(1-x)A=x+x^2+x^3+x^4+...$
$(1-x)A=\frac{x}{1-x} $
ดังนั้น$1x+2x^2+3x^3+4x^4+...=A=\frac{x}{(1-x)^2} $

[tongkub]

ขอท้วงคุณ proper นิดเดียวครับ $\theta = 30$ไม่ใช่รึครับ

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tongkub

ขอท้วงคุณ proper นิดเดียวครับ $\theta = 30$ไม่ใช่รึครับ

ขอบคุณคุณ tongkub มากครับ
ตายตอนจบซะงั้น

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

12. จงพิสูจน์ว่า $2^n$ ไม่ลงท้ายด้วย $2552$ ทุกจำนวนนับ $n$

สมมติ $2^n$ ลงท้าย 2552 บางจำนวนนับ n

$$2^n\equiv 2552 (mod10000)$$

$$10000\left|\,\right. 2^n-2552$$

$$10000\left|\,\right. 2^3(2^{n-3}-319)$$

เนื่องจาก $2^3$ และ $2^n$ เป็นจำนวนนับคู่ แสดงว่า

$$1250\left|\,\right. 2^{n-3}-319$$

$2^{n-3}-319 $ เป็นจำนวนนับคี่

เนื่องจากจำนวนนับคู่ไม่หารจำนวนนับคี่ใดๆ

ดังนั้นจึงเกิดข้อขัดแย้ง

จึงสรุปได้ว่า $2^n$ ไม่ลงท้ายด้วย $2552$ ทุกจำนวนนับ $n$

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

10. ให้ $x$ เป็นจำนวนจริงโดยที่ $x\not= 0$ และ $1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}+...+\dfrac{1}{x^{2009}}=1$ จงหาค่าของ $x^{2009}+2009$

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}+...+\dfrac{1}{x^{2009}}=0$

$x^{2008}+x^{2007}+...+1=0$...(1)

$x^{2009}+x^{2008}+...+x=0$...(2)

(2)-(1);$x^{2009}=1$

ดังนั้น $x^{2009}+2009=2010$

ปล. ได้เพื่อนช่วยครับ

ไม่เข้าใจว่า ดูจาก $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}+...+\dfrac{1}{x^{2009}}=0$ แล้ว x น่าจะติดลบ

แต่ทำไม $x^{2009} $ เป็นบวก

[nooonuii]

#8 เพราะไม่มีจำนวนจริง $x$ ที่สอดคล้องสมการ $(1)$ ครับ

ลองพิสูจน์ดูไหม

$x^{2008}+x^{2007}+\cdots+x+1>0$ ทุกค่า $x\in\mathbb{R}$

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

ข้อ 9 ทำอย่างไรหรือครับ

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o

ข้อ 9 ทำอย่างไรหรือครับ

อนุกรมอนันต์รึเปล่าครับ ทำสองครั้ง