รบกวนช่วยอธิบายโจทย์สมาคมม.ปลาย พ.ศ. 2552 ด้วยครับ

[tongkub]

จาก http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=9127

17.กำหนด $f:\mathbb{N} \to \mathbb{R} $ ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้
$(i)f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n)=n^2f(n)$ สำหรับทุกๆจำนวนนับ $n$ และ
$(ii)f(2009)=\dfrac{2009}{2552}$
แล้ว $f(2552)$ มีค่าเท่าใด



ขอรบกวนข้อ 17 33 34 ครับ

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tongkub

จาก http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=9127

17.กำหนด $f:\mathbb{N} \to \mathbb{R} $ ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้
$(i)f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n)=n^2f(n)$ สำหรับทุกๆจำนวนนับ $n$ และ
$(ii)f(2009)=\dfrac{2009}{2552}$
แล้ว $f(2552)$ มีค่าเท่าใด

โจทย์เขียนผิดนะครับ จริงๆเป็น 2552/2009 ไม่ใช่ 2009/2552

ลองแทนค่าดู $f(1)+f(2)=4f(2)$ ก็คือ $f(2)=\frac{1}{3}f(1) $

$f(1)+f(2)+f(3)=9f(3)$ ก็คือ $f(3)=\frac{1}{6}f(1) $

$f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=16f(4)$ ก็คือ $f(4)=\frac{1}{10}f(1) $

$f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=25f(5)$ ก็คือ $f(5)=\frac{1}{15}f(1) $

สังเกตว่า $f(n)=\frac{1}{\frac{n(n+1)}{2} } f(1)=\frac{2f(1)}{n(n+1)} $

$\therefore f(2009)=\frac{2f(1)}{2009\cdot 2010} =\frac{2552}{2009} $

$f(1)=\frac{2010\cdot 2552}{2} $

$f(2552)=\frac{2f(1)}{2552\cdot 2553} =\frac{2}{2552\cdot 2553} \cdot \frac{2010\cdot 2552}{2} $

$f(2552)=\frac{2010}{2553} $

เลขสวยดีนะครับ