ขอคำชี้แนะคณิตสพฐ.ปี2555 รอบสองด้วยครับ

[time.math]

ขอคำชี้แนะคณิตสพฐ.ปี2555 รอบสองด้วยครับ
ขอบพระคุณครับ

[gon]

ข้อ 24. ใช้เอกลักษณ์นี้ครับ $(a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2$

[time.math]

ขอบพระคุณ คุณ gonมากครับ

[computer]

ขอวิธีทำได้มั้ยคะ ยังไม่ได้

[artty60]

ก็ทำตามเอกลักษณ์ที่ท่านgonแนะนำไปทีละคู่ครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ computer

ขอวิธีทำได้มั้ยคะ ยังไม่ได้

solutionข้อ24

จากเอกลักษณ์ $(a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac+bd)^2+(ad-bc)^2$ จะได้ว่า


$(1^2+2^2)(2^2+3^2) = 8^2+1^2$
$(1^2+2^2)(2^2+3^2) = 7^2+4^2$

$(3^2+4^2)(4^2+5^2) = 32^2+1^2$
$(3^2+4^2)(4^2+5^2) = 31^2+8^2$

ถ้าจับคู่กลุ่มบนกับกลุ่มล่างคูณกัน จะมีได้ $2\times 2 = 4$ แบบ

โดยแต่ละแบบจะมีผลลัพธ์ $p^2+q^2$ได้ 2 แบบ (เช่นการคูณด้านบน)

ดังนั้นจะมี $(x, y)$ ทั้งหมด $4\times 2 = 8$ แบบ

แต่เนื่องจากถ้า $(x, y) = (p, q)$ เป็นคำตอบ แล้ว $(x, y) = (q, p)$ จะเป็นคำตอบด้วย

ดังนั้นจะมีคู่อันดับของจำนวนเต็มบวก $(x, y)$ ทั้งหมด $8 \times 2 = 16$ แบบ

และเมื่อลองเขียนออกมาดู 8 แบบ ก็จะพบว่าไม่มี $(p, q)$ ใดเลยที่ซ้ำกัน เช่น

$(8^2+1^2)(32^2+1^2) = 257^2 + 24^2 = 40^2+255^2$ จึงไม่มีคำตอบชุดใดซ้ำกัน

คำตอบทั้งหมดคือ 16 แบบจึงถูกต้อง

ข้อ 12. ทำได้อย่างน้อย 2 วิธี โดยใช้แนวคิดเรื่องพื้นที่รูปเล็กบวกกันเท่ากับรูปใหญ่ หรือใช้ทฤษฎีเส้นแบ่งครึ่งมุมครับ

[Amankris]

#6
ต้องพิสูจน์ไหมครับว่า ไม่มีชุดอื่นแล้ว

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

#6
ต้องพิสูจน์ไหมครับว่า ไม่มีชุดอื่นแล้ว

ผมยังไม่ได้ลองพิสูจน์ครับ แต่จำได้ว่าเคยใช้ wolfram ตรวจคำตอบดูแล้วปรากฏว่าโชคดีได้เท่ากันครับ