ขอโจทย์ AM-GM หน่อยครับ

[LightLucifer]

ตามหัวข้อเลยครับ เอาแบบคนเพิ่งเริ่มทำได้อ่ะครับ

[winlose]

ประมาณนี้ได้ไหมครับ
1. $a,b,c > 0 \ \ (a+b)(b+c)(c+a)\geqslant 8abc$
2. $x,y > 1 \ \ log_yx+log_xy\geqslant 2$
3. $x \in R \ \ \frac{x^2+2}{\sqrt{x^2+1}}\geqslant 2$

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ไม่ไหวครับ ผมเพิ่งเริ่มจริงๆ เหอๆ

โทษทีครับ เมื่อกี้เซ่อไปหน่อย เอา ประมาณนี้ก็ได้ ครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ไม่ไหวครับ ผมเพิ่งเริ่มจริงๆ เหอๆ

งั้นลองดูโจทย์ที่มีคนเคยขอดูครับ และดูวิธีหรือ hint ที่มีอยู่ว่าพอเข้าใจมั้ย ผมว่าอาจช่วยได้บ้างนะครับ โดยเฉพาะช่วงแรกอาจต้องดูตัวอย่างโจทย์มากหน่อย เพื่อให้ซึมซับถึงวิธีการหรือเทคนิคในการทำครับ จากที่นี่ก่อน http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=3357

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

งั้นลองดูโจทย์ที่มีคนเคยขอดูครับ และดูวิธีหรือ hint ที่มีอยู่ว่าพอเข้าใจมั้ย ผมว่าอาจช่วยได้บ้างนะครับ โดยเฉพาะช่วงแรกอาจต้องดูตัวอย่างโจทย์มากหน่อย เพื่อให้ซึมซับถึงวิธีการหรือเทคนิคในการทำครับ จากที่นี่ก่อน http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=3357

ขอบคุณมากครับ

[Scylla_Shadow]

1. จงตรวจสอบว่า $\frac{2552x^{2552}+2551}{2552x}\geqslant \sqrt[2552]{2552}$
เป็นจริงหรือไม่ ถ้าเป็นจริงจงพิสูจน์

2. จงตรวจสอบว่า $ถ้า \ x_1+x_2+x_3+...+x_{2552}=1$ แล้ว
$(1+\frac{1}{x_1})(1+\frac{1}{x_2})(1+\frac{1}{x_3})...(1+\frac{1}{x_{2552}})\geqslant 2553^{2552}$
เป็นจริงหรือไม่ ถ้าเป็นจริงจงพิสูจน์

3. จงตรวจสอบว่า $\sum_{cyc} \frac{a+b}{b+c} \geqslant 3 $
เป็นจริงหรือไม่ ถ้าเป็นจริงจงพิสูจน์

[roseisred01]

ในหนังสือ mymath มีอสมการที่คุณ light ต้องการมากมายครับ

[The jumpers]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ตามหัวข้อเลยครับ เอาแบบคนเพิ่งเริ่มทำได้อ่ะครับ

$x,y,z>0.$
\[\sum_{cyc}\sqrt{\frac{x}{y+z}}\geqslant 2.\]
<ถ้ายากไปก้อขอโทดด้วยนะคับ>

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ winlose

ประมาณนี้ได้ไหมครับ
1. $a,b,c > 0 \ \ (a+b)(b+c)(c+a)\geqslant 8abc$
2. $x,y > 1 \ \ log_yx+log_xy\geqslant 2$
3. $x \in R \ \ \frac{x^2+2}{\sqrt{x^2+1}}\geqslant 2$

ข้อ 1 พอทำได้ครับ

$\frac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{ab}$
$\frac{b+c}{2} \geqslant \sqrt{bc}$
$\frac{c+a}{2} \geqslant \sqrt{ca}$

จะได้ว่า
$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8} \geqslant abc$
$(a+b)(b+c)(c+a)\geqslant 8abc$

[-SIL-]

2. จะได้เป็น $\frac{log x}{log y}+\frac{log y}{log x} \geq 2\sqrt{\frac{log x}{log y}\cdot\frac{log y}{log x}}=2$
3. จะได้เป็น $\frac{x^2+2}{\sqrt{x^2+1}}=\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \geq 2\sqrt{\sqrt{x^2+1}\cdot\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}}=2$

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -SIL-

2. จะได้เป็น $\frac{log x}{log y}+\frac{log y}{log x} \geq 2\sqrt{\frac{log x}{log y}\cdot\frac{log y}{log x}}=2$
3. จะได้เป็น $\frac{x^2+2}{\sqrt{x^2+1}}=\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \geq 2\sqrt{\sqrt{x^2+1}\cdot\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}}=2$

ขอบคุณมากครับ เข้าหมดแย้ว

แต่ยัง ไม่ค่อยได้

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

1. จงตรวจสอบว่า $\frac{2552x^{2552}+2551}{2552x}\geqslant \sqrt[2552]{2552}$
เป็นจริงหรือไม่ ถ้าเป็นจริงจงพิสูจน์

2. จงตรวจสอบว่า $ถ้า \ x_1+x_2+x_3+...+x_{2552}=1$ แล้ว
$(1+\frac{1}{x_1})(1+\frac{1}{x_2})(1+\frac{1}{x_3})...(1+\frac{1}{x_{2552}})\geqslant 2553^{2552}$
เป็นจริงหรือไม่ ถ้าเป็นจริงจงพิสูจน์

3. จงตรวจสอบว่า $\sum_{cyc} \frac{a+b}{b+c} \geqslant 3 $
เป็นจริงหรือไม่ ถ้าเป็นจริงจงพิสูจน์

ช่วยเฉลยทีครับ

[Siren-Of-Step]

ดัน ๆ ดัน ๆ

[RoSe-JoKer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

1. จงตรวจสอบว่า $\frac{2552x^{2552}+2551}{2552x}\geqslant \sqrt[2552]{2552}$
เป็นจริงหรือไม่ ถ้าเป็นจริงจงพิสูจน์

2. จงตรวจสอบว่า $ถ้า \ x_1+x_2+x_3+...+x_{2552}=1$ แล้ว
$(1+\frac{1}{x_1})(1+\frac{1}{x_2})(1+\frac{1}{x_3})...(1+\frac{1}{x_{2552}})\geqslant 2553^{2552}$
เป็นจริงหรือไม่ ถ้าเป็นจริงจงพิสูจน์

3. จงตรวจสอบว่า $\sum_{cyc} \frac{a+b}{b+c} \geqslant 3 $
เป็นจริงหรือไม่ ถ้าเป็นจริงจงพิสูจน์

โคตรจะ Hint
ข้อ 1.AMGM
ข้อ 2.ลองทำดีกรีเท่ากันก่อน แล้ว AMGM
ข้อ 3.AMGM
= =" ขอให้โชคดีและทำออกโดยเร็วครับ

[Keehlzver]

1) $\frac{2551}{x}$ คือมี $\frac{1}{x}$ บวกกันอยู่ 2551 ครั้ง พิจารณากับก้อนๆหนึ่งพจน์ รวมเป็น 2552 พจน์
2) ทำดีกรีให้เท่ากันเป็นดีกรีศูนย์ เเล้วใช้ AM-GM เเบบ 2553 พจน์ในเเต่ละวงเล็บเเล้วจับเเต่ละวงเล็บคูณกัน 2552 ครั้ง
3)ไม่ต้องเเจกหารป.6 เเต่ใช้ AM-GM เเบบ 3 พจน์ครั้งเดียว