รบกวนหน่อยครับ สอวน.คณิตค่าย2

[prachya]

รบกวนพี่ๆช่วยหน่อยครับ น้องที่ค่ายคณิตศาสตร์ขอความช่วยเหลือ อิอิ
ผมคิดแล้ว แยกกรณีรู้สึกจะยาวมาก เลยรบกวนพี่ๆช่วยแนะนำหน่อยครับ
เผื่อจะมีวิธีที่ดีกว่านี้

จงแสดงว่า 1946 เป็นตัวประกอบของ $ 1492^{n} - 1770^{n} - 1863^{n}+2141 ^{n} $


ขอบคุณครับ

ปล รบกวนถามพี่ webmaster (หรือพี่ที่เคยเจอปัญหานี้) ไปด้วยเลยละกันครับ จะได้ไม่ต้องตั้งกระทู้ใหม่ เพื่อนผมมีปัญหาเรื่องการประมวลผล latex ทำให้ไม่เห็นสัญลักษณ์คณิตศาสตร์เลย ไม่ทราบว่า พอจะมีวิธีแก้ไขมะครับ

*แก้เป็น 1863 นะครับ โจทย์ผิดจริงๆด้วย แง้ว

[nongtum]

จดโจทย์ผิดหรือเปล่าครับ เพราะแค่ n=1 ก็หารด้วย 7 ไม่ลงตัวแล้วล่ะครับ (1946=2*7*139)
ส่วนปัญหาประมวลผลไม่ได้ ลองเช็คดูนะครับว่าในเครื่องลง TeXfonts หรือยัง หรือหากลงแล้วมันไม่ยอมประมวลผล ให้ลองโหลดหน้าที่จะอ่านอีกที รายละเอียดอื่นๆลองค้นจากกระทู้เก่าๆหรือรอคนอื่นมาตอบต่อนะครับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ prachya:
รบกวนพี่ๆช่วยหน่อยครับ น้องที่ค่ายคณิตศาสตร์ขอความช่วยเหลือ อิอิ
ผมคิดแล้ว แยกกรณีรู้สึกจะยาวมาก เลยรบกวนพี่ๆช่วยแนะนำหน่อยครับ
เผื่อจะมีวิธีที่ดีกว่านี้

จงแสดงว่า 1946 เป็นตัวประกอบของ $ 1492^{n} - 1770^{n} - 1863^{n}+2141 ^{n} $

ผมว่าแยกกรณีนี่น่าจะดีที่สุดแล้วนะครับ

ให้ $a_n= 1492^{n} - 1770^{n} - 1863^{n}+2141 ^{n} $

จะเห็นว่า $a_n$ เป็นเลขคู่เสมอ ดังนั้น $2\mid a_n$

ให้สังเกตว่า $1863-1492= 2141-1770 =371$ และ $7\mid 371$
นั่นคือ $1863 \equiv 1492 \pmod7 $ และ $2141 \equiv 1770 \pmod7 $
ดังนั้น $1863^n \equiv 1492^n \pmod7$ และ $2141^n \equiv 1770^n \pmod7$
เราจึงได้ว่า $7\mid a_n$

ทำนองเดียวกัน จากที่ $1770-1492= 2141-1863 =2 \cdot 139$ เราจึงได้ว่า $139 \mid a_n$

ดังนั้น $2 \cdot 7 \cdot 139 = 1946$ จึงเป็นตัวประกอบของ $a_n$ ครับ