ข้อสอบ TUGMOs 2010 ครับ

[MR.Quest]

ผมก็ไม่แน่ใจครับ
อยากให้มีคนมาใบ้อีกซักหน่อยคงจะดี

[Tinyo Dragonn]

ฝาแฝด
เลขฐานสอง 555

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MR.Quest

ตอนที่ 1 ปรนัยข้อละ 2 คะแนน

7.ถ้า $a_{r+1}=\frac{a_{r}}{a_{r+1}}$ และ $a_{0}=3$ จงหา $\frac{1}{a^{2}_{1}}+\frac{1}{a^{2}_{2}}+\frac{1}{a^{2}_{3}}+...+\frac{1}{a^{2}_{72}}$
ก.2552 ข.2652 ค.5184 ง.128780 จ.No correct

$a_{r+1}=\frac{a_{r}}{a_{r+1}}$

$ a^2_{r+1} = a_{r}$

$a^2_{1} = a_0 = 3$ ---> $\frac{1}{a^2_{1} } = \frac{1}{3}$

$a^2_{2} = a_1 = 3^{\frac{1}{2}} $ ---> $\frac{1}{a^2_{2} } = \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$

$a^2_{3} = a_2 = (\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}})^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3^{\frac{1}{2^2}}}$



ดังนั้น $\frac{1}{a^{2}_{1}}+\frac{1}{a^{2}_{2}}+\frac{1}{a^{2}_{3}}+...+\frac{1}{a^{2}_{72}}$

= $\frac{1}{3^1}+\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} +\frac{1}{3^{\frac{1}{2^2}}} + ... +\frac{1}{3^{\frac{1}{2^{71}}}} = s$


มาถูกทางหรือเปล่าน๊อออ .. ทำไมยิ่งลึกลับเข้าไปอีก

[TuaZaa08]

ตอบ ง. ครับ

^^

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TuaZaa08

ตอบ ง. ครับ

^^

รบกวนชี้แนะวิธีทำหน่อยครับ

[TuaZaa08]

คือต้องขอแก้ไขโจทย์ก่อนนึดนึงนะครับ เพิ่งมาเห็น

$ a_{r+1}=\frac{a_{r}}{a_{r}+1}$

ที่นี้เราจะได้ว่า $a_{1}= \frac{3}{4} $

$a_{2}= \frac{3}{7}$
...

$a_{n}=\frac{3}{3n+1}$

จะได้ว่า $\frac{1}{a_{1}^2}+\frac{1}{a_{2}^2}+...+\frac{1}{a_{72}^2} = \sum_{n = 1}^{72}\frac{(3n+1)^2}{9} $

กระจาย Sigma เข้าไปอ่ะครับ แล้วคิดคำนวณอีกนิดหน่อยครับ

^^

[แม่ให้บุญมา]

ตอน 2 ข้อ7. โจทย์
พิจารณาวงกลม 2 วงตัดกัน(วงกลม P และ Q ตัดกันที่ AและB) ลากเส้นสัมผัสวงกลม P ผ่านจุด A ตัด PQ ที่ X และลากเส้นสัมผัสวงกลม Q ผ่านจุด A ตัด PQ ที่ Y ให้มุมXAY=120 ต่อ XA ไปถึง Z สร้างเส้นแบ่งครึ่งมุม YAZ ตัดเส้นตรง PQ ที่ M กำหนดให้ AM=12 และรัศมีวงกลมP=4 หารัศมีของวงกลม Q

หารัศมี วงกลม Q ได้เท่ากับ 6 ดังนี้ครับ


กำหนดให้ XAZ และ AY เป็นเส้นสัมผัสวงกลม PและQ ซึ่งมีรัศมี 4 และ R(ให้หา)ตามลำดับ โดยเส้นทั้งสองตัดกันทำมุม 120 องศา(∠XAY) AM เป็นเส้นแบ่งครึ่งมุม
ให้ c, C เป็นจุดศูนย์กลางของ วงกลม Pและ Q ตามลำดับ ลากเส้น AT ตั้งฉากกับ XY ที่ T
วงกลม O มีรัศมี Ac=r=4, ให้วงกลม P ให้หา รัศมี AC=R ของวงกลม Q
เนื่องจากเส้นรัศมีตั้งฉากกับเส้นสัมผัสที่จุดสัมผัส ดังนั้น วงกลม O ∠cAZ=90, วงกลม P ∠CAY=90
หาค่ามุมต่างๆ ∠YAZ= 180-∠XAY=180-120=60, ∠MAY= ½*∠YAZ=30,
∠cAY = ∠XAY-∠cAX = 120-90=30
△ MAc:
cM^2=AM^2+Ac^2-2*AM*aAc*cos⁡(∠cAM)
cM^2=〖12〗^2+4^2-2*12*4*cos(∠MAY+∠cAY) = 144+16 -2*12*cos∠ (30+30)= 112, cM = 4*√7
cM/sin⁡(60) =12/sin⁡(∠AcM)
4*√7/(√3/2)=12/sin⁡(∠AcM)
sin⁡(AcM)=3*√3/█(2*√7@)
△มุมฉาก cAT , AT=Ac*sin⁡(∠AcT)

AT=4*sin⁡〖∠(180-∠AcM)〗
AT=4*sin⁡(∠AcM)=4*3*√3/(2*√7)=6*√3/√7
ใน △มุมฉาก CAT
∠CAT=CAX-cAX-cAT=90-30-cAT=60-cAT
R=AT/cos⁡(CAT) =(6*√3/√7)/cos⁡(60-cAT)
cos⁡〖∠(60-cAT)〗=cos⁡(60)*cos⁡(∠cAT)+sin⁡(60)*sin⁡(∠cAT)
=(1/2)*(AT/Ac)+(√3/2)*(√(〖Ac〗^2-AT^2 )/Ac
=(1/2)*((6*√3/√7)/4)+(√3/2)*√(4^2-(6*√3/√7)^2 )/4
=3*√3/(4*√(7))+(√3/2)*(√(112-108)/(4*√7))=√3/√7 = cos(CAT)
ดังนั้น รัศมี R = AT/cos⁡(CAT) =((6*√3/√7))/(√3/√7)=6
copy จาก word เลยดูแปลกๆ กำลังเรียนรู้ latex เพื่อจะมา format ให้ดูดีขึ้น ภายหลังนะครับ ได้เฉลยแล้วอีกหลายข้อ แต่ต้อง แปลงเป็น latex ก่อนให้ดูง่าย ก่อนนำมา โพสต์เพิ่มเติม

[แม่ให้บุญมา]

ตอน 3 ข้อ 3
จงหาจำนวนเต็มที่มากที่สุด ที่น้อยกว่า
$=\frac{1}{\sqrt{866761}} +\frac{1}{\sqrt{866762}}+⋯+ \frac{1}{\sqrt{893025}}$

วิธีทำ
จำนวนมีทั้งหมด n=1+(893025-866761)=26265
หาค่า $\sqrt{866761}$ และ $\sqrt{893025}$
ด้วยการหารสังเคราะห์ :
$ \qquad \ \ \underline{ \ 9 \quad 3 \quad 1}\ $
$ \ \ 9\quad) 86,67,61$
$\qquad \ 81$
$183 \quad \ 5\ 67$
$ \qquad \quad 5 \ 49$
$1861 \quad \ \ 18 \ 61$
$\qquad \quad \ \ 18\ 6 1$

$ \qquad \ \ \underline{ \ 9 \quad 4 \quad 5} $
$ \ \ 9\quad) 89,30,25$
$\qquad \ 81$
$184 \quad \ 8\ 30$
$ \qquad \quad 7 \ 36$
$1885 \quad \ \ 94 \ 25$
$\qquad \quad \ \ 94 \ 25$

จากโจทย์ผลบวกที่ต้องการคือ
$=\frac{1}{\sqrt{866761}} +\frac{1}{\sqrt{866762}}+⋯+ \frac{1}{\sqrt{893025}}$
$=\frac{1}{931}+\frac{1}{\sqrt{866762}}+⋯+\frac{1}{945}$
$>n*\frac{1}{(931+945)/2}$
$>26265*\frac{1}{938}$
$>28.001$
คำตอบ คือ 28

ทั้งนี้ได้ข้อสังเกตจากตัวอย่างเช่น
$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} > 2*\frac{1}{(5+7)/2}$
$\frac{1}{5}+\frac{1}{7} > 2*\frac{1}{6}$
$\frac{12*6}{(35*6} > 2*\frac{2*35}{35*6}$
$\frac{72}{35*6} > \frac{70}{35*6}$

อีกตัวอย่าง ก็แสดงคุณลักษณะเช่นนี้:
$\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8} \ > \ 5*\frac{1}{6}$
$0.884524 \ > \ 0.83333 $

ไม่รู้ว่าคิดง่ายไปไหม ผิดถูกวานผู้รู้ช่วยแนะด้วยครับ

[แม่ให้บุญมา]

รบกวนคุณ TuaZaa08 ช่วยลดขนาดตัวอักษร Signature ข้างล่างนี้ ลงไปด้วยครับ มันใหญ่กินที่ เวลาพิมพ์ออกไปทำให้ ต้องสิ้นเปลืองกระดาษมากขึ้นโดยไม่จำเป็น

"ถ้าตัดความเป็นไปไม่ได้ออกไป สิ่งที่เหลืออยู่
แม้จะไม่น่าเชื่อใด แต่มันก็คือ ความจริง"

[TUANG]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Onasdi

ยิ่งคิดยิ่งปวดหัวครับ

Act One

คำใบ้คือนาฬิกา สังเกตว่าเลขมีตั้งแต่ 0-12 เดาได้ว่า 1-12 คือตัวเลขบนนาฬิกา ส่วน 0 คือตัวคั่น ลองลากเส้นเชื่อมเลขบนนาฬิกาตามลำดับดู จะได้ออกเป็นคำว่า FUN และ BLIE

Act Two

น่าจะตามที่คุณ R@VeZ คิดครับ ได้ 5 1 5 1 4 1 4 4 1

Act Three

คำใบ้คือโทรศัพท์ ลองลากเส้นเชื่อมเลขบนโทรศัพท์ตามลำดับดู จะเห็นเป็นตัว J
ส่วนสองอันแรกคือตัว B กับ A เอาไปเชื่อมกับตอนแรก ได้ว่า B โกหก นั่นก็คือ ทวีเดิล ดี โกหก
จึงได้ว่า ดำแทน I ช่องขาวแทน O และเริ่มดูทีละแถวไล่จากแถวบนลงแถวล่าง ในแถวหนึ่งๆดูช่องจากซ้ายไปขวา

Act Four

ยังคิดไม่ออกครับ เท่าที่สังเกตได้คือ เลขในตอนสองรวมกันได้ 26 ซึ่งเท่ากับจำนวนตัวหมากพอดี อาจจะแปลว่าให้แบ่งตัวหมากออกเป็นกลุ่มๆตามนั้น แต่ผมก็ยังไม่รู้จะเอาอะไรมาตอบอยู่ดี
ผมลองเอาช่องว่าง "ระหว่าง" ตัวหมากแต่ละกลุ่ม มาเรียงจะได้ OOIOOOIOOOIOO ซึ่งมี 13 ตัวเท่ากับจำนวนของไพ่ A ถึง K พอดี ไม่รู้เกี่ยวรึเปล่า
ใครพอจะใบ้หน่อยได้ไหมครับว่าชื่อวันนี่ เป็นภาษาอังกฤษธรรมดา หรือว่าเป็นเฉพาะ O,I หรือว่ามีตัวเลขด้วย

ACT FOUR คิดต่อได้อีกหน่อยครับไม่ทราบถูกไหม
จากACT TWOได้ 5 1 5 1 4 1 4 4 1 รวมกันได้26ตามจำนวนหมากในACT FOUR
ในACT FOUR จำนวนหมากในช่องดำมี 17 ขาว 9 รวมได้ 26เท่ากัน กับACT TWO
กลับไปดูผลจากACT TWO ผลลัพธ์ 6 ตัวแรก คือ 5+1+5+1+4+1=17 เท่ากับจำนวนหมากในช่องดำพอดี
ส่วนอีก3ตัวหลังได้ 4+4+1=9เท่ากับจำนวนหมากในช่องขาว
ดังนั้นถ้าพูดถึงACT TWO บอกว่า"ไพ่ที่ขั้นระหว่างหมากรุก"
ดังนั้นเราก็อาจจะสามารถแบ่งได้ว่า 5 1 5 1 4 1 / 4 4 1
( "/" อาจหมายถึงไพ่ที่ขั้นระหว่างหมากรุกในช่องดำและขาว ดำ/ขาว)

ผมคิดได้เท่านี้เอง มันคงต้องเอา I O ในACT THREE มาคิดต่อมั้งครั้บ หลังจากนั้นคงจะได้เป็นวันสำคัญสักอย่าง
ใครคิดต่อได้ ช่วยมาบอกหน่อยนะครับ และอีกอย่างผมยัง งง กับACT THREE อยู่ครับตอนใส่ I O ช่วยบอกหน่อย

แต่ว่าของผมไม่แน่ก็อาจจะไม่ใช่นะครับ ขอบคุณมากครับ