โอลิมปิก คณิตศาสตร์ รอบแรก

[M@gpie]

ข้อ 5 ตอนที่ 1 ครับ ตอบ 17

เนื่องจาก \( 4 \mid n! \) เสมอ เมื่อ \( n \geq 4 \)
ดังนั้น พิจารณาส่วนที่เหลือคือ \( 1! + 2! +3! = 9 = 4(2)+1 \)
นั่นคือ \( 4 \; หาร \; 1!+2!+3!+...+10000! \) เหลือเศษเท่ากับ 1
พิจารณา \( 2^20 = 16^5 = (17 -1)^5 = 17^5 -17^4 +17^3 - 17^2 +17 -1 \)
หรือเขียนเป็น \(17(17^4 -17^3 +17^2 - 17) +16 \)
ดังนั้น เศษที่ได้จากการหาร \(2^20 \; ด้วย \; 17 \) คือ 16
ดังนั้นผลบวกของเศษตอบ 17 ##

[Shadowmage]

สอบโอลิมปิกพวกนี้ต้องได้กี่คะแนนอย่างน้อยถึงติดรอบแรกหรอคับ

[M@gpie]

ข้อ 8 ตอนที่ 2 อันนี้ไม่แน่ใจว่าทำไมตอบได้สองอย่างหรือผมทำผิด ช่วยยืนยันความถูกต้องด้วยครับ
จากโจทย์จะได้ว่า \( p(-2) = 0 , p(-1)=1 \)
ให้ \( p(x) = x^3 +mx^2 +nx +p \)
เนื่องจาก \( p(-2) = -8 +4m-2n +p \) สามเทอมแรกเป็นเลขคู่ ซึ่งจะได้ว่า p ควรเป็น 2 หรือ -2 เท่านั้น

กรณี p=2 ใช้เงื่อนไขทั้งสองจะได้ว่า \( m=3,n=3,p=2 \)
ซึ่งจะได้ว่า \( m^2+n^2+p^2 = 22 \)
และ เศษที่ต้องการ \( p(-5)= -63 \)

กรณี p=-2 ใช้เงื่อนไขทั้งสองจะได้ว่า \( m=1,n=-3,p=-2 \)
ซึ่งจะได้ว่า \( m^2+n^2+p^2 = 14\)
และ เศษที่ต้องการ \( p(-5)=-87\)

[M@gpie]

ข้อ 9 ตอนที่ 1 ผมคิดได้ช้อย (3) ไม่ตรงกับน้อง Tummy อ่า ขอผุ้ยืนยันด้วยคับ
ข้อ 15 ตอนที่ 2 ได้ 3 ตารางหน่วย คร้าบ

[Alberta]

ขอข้อ4ตอน2ละกันครับ(ผมทำไออื่นไม่เป็น )
จากรูปนะครับ เราให้ด้านยาวดังภาพ(โดยใช่สมาเหลี่ยมคล้ายแบบง่ายๆ)
จากทฤษฎีบทปีทาโกรัส (รูปสามเหลี่ยมที่ระบายสีฟ้า 2 รูปครับ)
จะได้\( X^2 \) +\((2Y^2) \) = \( BP^2 \)
และ \( Y^2 \) +\((2X^2) \) = \( BQ^2 \)
เอามารวมกันเป็น
\( BP^2 \) + \( BQ^2 \) =\( Y^2 \) +\((2X^2) \)+ \( Y^2 \) +\((2X^2) \)= \( 5X^2 \)+\( 5Y^2 \) = 5
ดังนั้น \(X^2 \)+\( Y^2 \) = 1
จะหาด้าน AC
จากทฤษฎีบทปีทาโกรัสของรูปสามเหลี่ยมABC
จะได้ \( AC^2 \) = \(AB^2 \)+\(BC^2 \)
ดังน้น AC = ึ(\(( 3X)^ 2\)+\( (3Y)^2\))= ึ(\( 9X^ 2\)+\( 9Y^2\))
3ึ\( X^ 2\)+\( Y^2 \) = 3*1 = 3

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อความเดิมของคุณ M@gpie:
ข้อ 9 ตอนที่ 1 ผมคิดได้ช้อย (3) ไม่ตรงกับน้อง Tummy อ่า ขอผุ้ยืนยันด้วยคับ
ข้อ 15 ตอนที่ 2 ได้ 3 ตารางหน่วย คร้าบ

อันนี้ ไม่ต้องเช็คกับผมมากก็ได้ครับ ผมเอาแน่ไม่ได้ บางข้อผมไม่ได้คิดเลย บางข้อเดา หรือบางข้อคิดได้แล้วสะเพร่าครับผม

[esdgr]

อยากได้ข้อสอบแบบสะอาดๆ โล่งๆป่าวครับ แบบไร้รอยขีดข่วน
เดี๋ยวผมสแกนของผมให้
ผมทำมะด้ายเรยยยยยย 555+
แบบผมว่ายากกว่าปีก่อนๆเยอะมากอะ แล้วคุณ Tum นี่อยู่โรงเรียนไรเหรอ เก่งจัง

[R-Tummykung de Lamar]

แหม มีคนเรียกผมหลายแบบจังนะครับ ทั้ง Tum , Tummy , Tummykung , R-Tummykung de Lamar

สงสัยชื่อจะยาวไปซะแล้ว
ใครจะเรียกยังไงก็ได้ครับ เพราะมันเกิดจากการแปลง Tum \(\displaystyle{\to} \)Tummy\(\displaystyle{\to} \)Tummykung\(\displaystyle{\to} \)R-Tummykung de Lamarจริงๆครับ ดังนั้นจะเรียกลำดับขั้นไหนก็ได้ครับ

[nongtum]

ข้อสอบปีนี้กินแรงคนคิดดีชะมัด เอาเท่าที่คิดออกตอนนี้ก่อนละกัน
1.3. ตอบข้อ 1.
จากโจทย์ จะได้รัศมีของวงกลม(=ความยาวด้านสามเหลี่ยมด้านเท่า)เป็น \(2r\cos30°=\sqrt{3}r\) และพื้นที่แรเงาเป็น \(3[\frac{1}{6}\pi(3r^2)-\frac{\sqrt{3}}{4}(3r^2)]=\frac{3}{2}r^2(\pi-\frac{3\sqrt{3}}{2}) \)

1.4. ตอบข้อ 2.
มุม SPR=RQS=22+32=54 ดังนั้นมุม QPS=90-54=36°

1.8 ตอบข้อ 3
PQ ต้องเป็นเส้นผ่านศูนย์กลางเพราะยาว 2a, \(QS=\frac{1}{2}PR=2\sqrt{2},\ QT=\sqrt{a^2-8},\ ST=a-2\sqrt{2}\)
ดังนั้นพื้นที่สามเหลี่ยม QST จึงเป็น \(\frac{1}{2}\sqrt{a^2-8}\cdot(a-2\sqrt{2})=\hbox{choice 3.}\)

2.7 ให้มุม BCF=DCE=DAF=x จากข้อมูลในโจทย์จะได้ 44+x+30+x=180 (สี่เหลี่ยมแนบใน) ดังนั้น x=53°

2.9 เราได้ว่า \(0<x^2-6x+7\le1\) หรือ \(x\in[3-\sqrt{3},3-\sqrt{2})\bigcup(3-\sqrt{2},3-\sqrt{3}]\)

2.15 จากโจทย์จะได้สมการพาราโบลาเป็น \(y^2=-4x\) มีจุดโฟกัสอยู่ที่ F(-1,0)
สมการเส้นตรงที่ผ่าน A(-1,2) และ O และตั้งฉากกับเส้นตรง 3x+y+1=0 คือ 3y=x+5 ซึ่งจะได้จุดศูนย์กลาง O(2,3) (note: 10=3²+1²)
และพื้นที่ของสามเหลี่ยมเป็น \(0.5(5\cdot3-9)=3\) ตารางหน่วย

2.17 จากโจทย์จะได้ log sum เป็น 3n(n+1)=1950 หรือ n=25, \(n(A_k)=11^k\)
ดังนั้นผลรวมที่ต้องการจึงเป็น \(11+11^2+\cdots+11^{25}=\frac{11}{10}(11^{25}-1)\)

ขอหลบไปคิดข้ออื่นเพิ่มก่อนนะครับ

[passer-by]

เห็นด้วยกับคุณ nongtum ครับ ข้อสอบรอบแรกปีนี้ เป็นลักษณะ time-consuming ยังไงชอบกล แล้วก็เห็นคำถาม inequality และ functional equation น้อยมากๆ แต่มีเรื่องเวกเตอร์ แถมมาด้วย

ตอนนี้ คิดแบบ ยังไม่ได้ตรวจทานอะไรมากมาย ได้คำตอบข้อที่เหลือเป็นดังนี้ครับ

ตอนที่ 1
6. (ตอบข้อ 3) (Credit: Thanks คุณ nongtum)
7. 2
9. 2
10. 4

ตอนที่ 2
1. 2^2k-2^k+1
2. \(\large {1,e^{\frac{1}{2}},e^{\frac{-1}{6}},e^{\frac{2}{3}}} \)
3. 9
6. (-4,-1]ศ[-1/2,0]
8. -41 (p=2 และ คำตอบเกิดจาก 22 + (-63))
9. [3-ึ3,3-ึ2)ศ(3+ึ2,3+ึ3]
11. 14
12. -4/9
13. \(\large \frac{\sqrt{2}tan\frac{\pi}{16}}{1+tan^{2}\frac{\pi}{16}} \)
14. \( \large AC\times cos67.5^{\circ} =AC\times\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}}\)
16. \( \large \frac{17}{8}\vec{i} -\frac{17}{2}\vec{j} \)
18. 10125
19. \( \large \frac{(x-1)^{2}}{27}+ \frac{(y-1)^{2}}{18}=1\)
20. 14
21. \( \large \frac{\sqrt{4-\pi}}{4}\)
22. {-2}
23. 1/(1003ท2005)
24. \(\large (-\sqrt{\frac{35}{18}},\sqrt{\frac{35}{18}}) \)
25.\(\large y=2\pi-arccos(\sqrt{1+\frac{ln(sinx)}{2sinx}}) \)

ข้อ 10 ให้ผู้ที่ถนัด number theory กว่าผม มาตอบดีกว่า (อยากรู้ว่า max กับ min เท่ากันหรือเปล่า)
หลังจากนี้ ก็ช่วยตรวจทานคำตอบเหล่านี้ด้วยนะครับ เผื่อมึนๆเบลอๆ

และก็ขอจบด้วยคำอธิบาย หนึ่งในข้อที่ผมชอบที่สุด
ข้อ 11 (ตอนที่ 2)
เนื่องจาก 9xy= abcde = 1000x+y
ดังนั้น จัดรูปใหม่เป็น \[ \large x=\frac{y}{9y-1000} \]
จะเห็นได้ว่า yณ9y-1000 และ 9y-1000>0
ดังนั้น 112ฃyฃ125 ( y เป็นจำนวนนับ 3 หลัก)
และทำให้ 8ฃ9y-1000ฃ125

ดังนั้น 112/125 <10ฃxฃ15
แทนค่า x= 10,11,..,15 มีเพียง x= 14 เท่านั้นที่สอดคล้อง โดยได้ y=112
ดังนั้น ห.ร.ม. ของ x,y คือ 14

ข้ออื่นๆ เดี๋ยว ว่างๆจะมาพิมพ์วิธีทำให้เน้อ

[nongtum]

ระบายเฉลยรอบที่สองครับ
2.10 \((n^2+100,(n+1)^2+100)=(n^2+100,2n+1)=^{*}((2n+1)^2+399-4n,2n+1)=(401,2n+1) \)
(* เป็นไปได้ เพราะ (2^k,เลขคี่)=1) เนื่องจาก 401 เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้นห.ร.ม.เป็นไปได้สองค่าคือ 1 และ 401 ดังนั้นคำตอบคือ 400

2.20 จากเงื่อนไข 1) จะได้ตัวเศษเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อ a=1 หรือ -1 แทนค่า a ในเงื่อนไข 2) จะได้ว่า
\(|1-b|\le4\Rightarrow-3\le{}b\le5\) หรือ \(|-1-b|\le4\Rightarrow-5\le{}b\le3\)
ในเงื่อนไขแรก มีกรณีที่ตัวส่วนเป็นศูนย์ เมื่อ b=2,-2 ดังนั้น มีคู่อันดับที่ต้องการทั้งหมด \(9\cdot2-2\cdot2=14 \) คู่อันดับ

2.21 จากเงื่อนไขโจทย์จะได้ \(f^2(x)=4\sin^4(\cos^2(2x))=1\) หรือ \(\sin(\cos^2(2x))=\frac{1}{\sqrt{2}}\) หรือ \(\cos^2(2x)=1-\sin^2(2x)=1-4\sin^2x\cos^2x=\frac{\pi}{4}\) อันหมายถึง \(\sin{x}\cos{x}=\frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{\pi}{4}}\)

2.24 ย้ายข้างแล้วจัดรูปจะได้ \((\frac{35}{3}-6x^2)\bar{v}=\frac{148}{3}\bar{u} \) ให้ \(\bar{u}=k\bar{v},\ k>0\) จะได้ \((\frac{35}{3}-6x^2)=\frac{148}{3}k\) หรือ \(x^2=\frac{35-148k}{18}\ge0\Leftrightarrow x\in(-\sqrt{\frac{35}{18}},\sqrt{\frac{35}{18}})\)

2.25 take ln ทั้งสองข้างแล้วคูณตลอดด้วย cos(y)น0 จัดรูปใหม่โดยอาศัยเอกลักษณ์ sin(x+y)+sin(x-y)=2sin(x)cos(y) แล้วจัดรูปต่อจะได้ \(\cos{y}=\sqrt{\frac{\ln(\sin{x})}{2\sin{x}}+1}\) เพราะ y อยู่ในจตุภาคที่ 4 จะได้ว่า \(y=2\pi-\arccos\sqrt{\frac{\ln(\sin{x})}{2\sin{x}}+1}\)

เฉลยงวดนี้ค่อนข้างสั้น หากไม่เข้าใจตรงไหนถามได้เช่นเคยครับ (หลบไปนอน )

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ passer-by:
ตอนที่ 2
13. \(\large \frac{\sqrt{2}tan^{2}\frac{\pi}{16}}{1+tan^{2}\frac{\pi}{16}} \)

ผมยังไม่ได้ลองทำข้อนี้นะครับ แค่จะมาบอกว่าถ้าคำตอบเป็นอันนี้จริง เราจะสามารถ simplify ได้อีกหน่อยดังนี้\[\frac{\sqrt2\tan^2\frac{\pi}{16}}{1+\tan^2\frac{\pi}{16}}=
\sqrt2\sin^2\frac{\pi}{16}\]ป.ล. ขอชมว่าคุณ passer-by และคุณ nongtum ทำได้เร็วสุดยอดจริงๆ ทำให้ดูเหมือนกับว่าโจทย์คัดตัวโอลิมปิกเป็นของหมูๆไปเลย

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
ระบายเฉลยรอบที่สองครับ
2.25 take ln ทั้งสองข้างแล้วคูณตลอดด้วย cos(y)น0 จัดรูปใหม่โดยอาศัยเอกลักษณ์ sin(x+y)+sin(x-y)=2sin(x)cos(y) แล้วจัดรูปต่อจะได้ \(\cos{y}=\sqrt{\frac{\ln(\sin{x})}{2\sin{x}}+1}\) เพราะ y อยู่ในจตุภาคที่ 4 จะได้ว่า \(y=2\pi-\arccos\sqrt{\frac{\ln(\sin{x})}{2\sin{x}}+1}\)

เช่นเคยครับ...ผมยังไม่ได้ลองทำข้อนี้ แค่จะมาบอกว่าถ้าคำตอบเป็นอันนี้จริง เราจะสามารถ simplify ได้อีกหน่อยดังนี้ครับ\[2\pi-
\cos^{-1}\sqrt{\frac{\ln(\sin x)}{2\sin x}+1}\,=\,2\pi-
\frac{1}{2}\cos^{-1}\left(1+\frac{\ln(\sin x)}{\sin x}\right)\]

[passer-by]

สำหรับข้อ 5 ตอนที่ 2 ขอลบ ออกไปก่อนแล้วกันครับ ยังไม่ sure (ในความคิดผม ข้อนี้ ยากสุดใน paper นี้เลยครับ)

ข้อ 13 คิดถูกแต่ ดันไปพิมพ์ผิด ซะนี่ เลยทำให้คุณ warut simplify เก้อไปเลย ขอประทานอภัยอย่างสูงครับ
ผมกลับไปแก้คำตอบให้แล้วนะครับ แล้วก็คงเป็นรูปแบบที่ simplify ที่สุดแล้ว

ส่วนข้อ 25 ก็ต้อง thanks คุณ nongtum ด้วยครับ คือผมก็คิดได้เท่าคุณ nongtum นั่นแหละครับ แต่ พิมพ์ผิด

อ้อ ! แล้วก็ข้อ 21 ผมว่าต้องเป็น
\[ \large sinxcosx=\frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{\pi}{4}} \] นะครับคุณ nongtum

ต่อด้วยคำอธิบาย ข้อที่ผมชอบ
7. (ตอนที่ 1)
ให้ S คือผลบวกที่ต้องการ ดังนั้น
\[\large \begin {array}{lc} \quad S= \big (\frac{\frac{1}{3}}{2}+ \frac{\frac{7}{9}}{4} +\frac{\frac{37}{27}}{8}+...\big )log_{b}a \\\qquad=\big (\frac{(1+\frac{1}{3})-1}{2}+ \frac{(1+\frac{7}{9})-1}{4} +\frac{(1+\frac{37}{27})-1}{8}+...\big )log_{b}a \\\qquad =\big[ \big(\frac{4}{6}+\frac{16}{36}+\frac{64}{216}+...\big)- \big(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...\big)\big]log_{b}a \\\qquad=\big (\sum_{n=1}^\infty(\frac{2}{3})^{n}-\sum_{n=1}^\infty (\frac{1}{2})^{n}\big)log_{b}a\\\qquad= (2-1) log_{b}a\\\qquad =log_{b}a\end{array}\]

12. เนื่องจาก (A-I)B= A¹⁶-I และ (A+I)C=A¹⁶-I ดังนั้น

\(\huge det(B) =\frac{det(A^{16}-I)}{det(A-I)}, det(C) =\frac{det(A^{16}-I)}{det(A+I)} \)

และทำให้ \(\huge \frac{det(AB)}{det(C)} =\frac{det(A)det(A+I)}{det(A-I)} \) จากนั้นก็คำนวณโดยตรง จะได้คำตอบเป็น -4/9

ว่างๆ จะกลับมาพิมพ์ต่อ ครับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ passer-by:
ข้อ 13 คิดถูกแต่ ดันไปพิมพ์ผิด ซะนี่ เลยทำให้คุณ warut simplify เก้อไปเลย ขอประทานอภัยอย่างสูงครับ
ผมกลับไปแก้คำตอบให้แล้วนะครับ แล้วก็คงเป็นรูปแบบที่ simplify ที่สุดแล้ว

ไม่เป็นไรครับ แต่ผมว่าคำตอบใหม่ก็สามารถ simplify ได้อีกดังนี้นะครับ\[\frac{\sqrt2\tan\frac{\pi}{16}}{1+\tan^2\frac{\pi}{16}}=
\frac{1}{\sqrt2}\sin\frac{\pi}{8}\]