|
|
#2
08 มีนาคม 2015, 09:32
|
||||
|
||||
$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ 
|
|
#3
08 มีนาคม 2015, 11:36
|
|||
|
|||
|
มันถามประมาณนี้ใช่มั้ย
สำหรับ distinct primes $p_{1}p_{2}...p_{n}=a^2-b^2$ บาง $a,b$ ลองพิสูจน์ว่าในจำนวนเฉพาะพวกนั้นต้องไม่มี 2 อยู่ ถึงจะมี solution สำหรับ $a,b$ จากนั้นลองมองเหมือนของต่างกัน $n$ ชิ้นแล้วแบ่งไปเป็น 2 กลุ่ม say $\prod p_{i}$ กับ $\prod p_{j}$ เอาไปแจกให้ $a+b$ กับ $a-b$ การแบ่งจะไม่มีปัญหา เพราะให้ product ตัวใหญ่กว่าไปเป็น $a+b$ ตัวเล็กกว่าเป็น $a-b$ ได้เลย squares ที่เขียนออกมา จะได้เป็น $(\frac{\prod p_{i}+\prod p_{i}}{2})^2-(\frac{\prod p_{i}-\prod p_{j}}{2})^2$ ซึ่ง unique สำหรับ $a,b$ ด้วย เพราะเป็น distinct primes คูณๆกัน เพราะงั้นจำนวน solution ของ $a,b$ ก็จะขึ้นตรงกับจำนวนวิธีแบ่งของ $n$ ชิ้นออกเป็น 2 กลุ่ม น่าจะประมาณนี้ครับ ลองคนอื่นมายืนยันอีกที 
|
|
#4
09 มีนาคม 2015, 00:43
|
|||
|
|||
|
ขอบคุณค่ะ
$ p_{1}p_{2}...p_{n}=a^2-b^2=(a+b)(a-b)= N $ เนื่องจาก $ (a+b)-(a-b) = 2b $ เป็นจำนวนคู่ ทำให้ $ (a+b)$ และ $(a-b)$ เป็นจำนวนคู่ด้วยกัน หรือเป็นจำนวนคี่ด้วยกัน ถ้าเป็นจำนวนคู่ด้วยกัน $N$จะมี 2 ตัวประกอบ 2 ซึ่งขัดแย้งกับที่โจทย์กำหนดให้ $N$เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน ดังนั้น $N$ เป็นผลคูณของ odd primes เท่านั้น แยก N เป็น 2 ตัวประกอบ ตัวประกอบที่มีค่าน้อยให้เป็น $(a-b)$ และตัวประกอบที่มีค่ามากให้เป็น $(a+b)$ จำนวนวิธีในการแยกตัวประกอบจะเท่ากับจำนวน subset ใน set จำนวนเฉพาะ n ตัวของ $N$ ซึ่งเท่ากับ $2^n$ แต่ต้องหารด้วย 2 เพราะ การแยกตัวประกอบ 1 แบบ ทำให้เกิดคำตอบซ้ำกัน 2 ครั้ง ตอบ $2^{n-1}$ คิดแบบนี้ถูกหรือเปล่านะ
|
  |
|
|
