ขอโจทย์ holder ครับ

[Jew]

ขอโจทย์ holder ครับ
พอดีฝึกอยู่และหาประสบการณ์เกี่ยวกับโจทย์ประเภทนี้ครับ
คือผมหาตัวอย่างได้ยากมากครับ

[nooonuii]

อสมการต่อไปนี้มีวิธีพิสูจน์ได้เยอะแยะ แต่หนึ่งในนั้นคือใช้ Holder's inequality ครับ

$a,b,c>0$

1. $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$

2. $(a+b+c)^3\leq 9(a^3+b^3+c^3)$

3. $ab^2+bc^2+ca^2\leq a^3+b^3+c^3$

4. $a^2b+b^2c+c^2a\leq a^3+b^3+c^3$

5. $3(a+b+c)\leq (a^2+b^2+c^2)\Big(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\Big)$

6. $\dfrac{a^3}{b^2}+\dfrac{b^3}{c^2}+\dfrac{c^3}{a^2}\geq a+b+c$

7. $\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\geq \dfrac{1}{3}(a+b+c)^2$

8. $\Big(\dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{3}+\dfrac{c}{6}\Big)^3\leq \dfrac{a^3}{2}+\dfrac{b^3}{3}+\dfrac{c^3}{6}$

9. $(a+b+c)^3\leq (a^3+2)(b^3+2)(c^3+2)$

10. $\dfrac{a}{\sqrt{b+c}}+\dfrac{b}{\sqrt{c+a}}+\dfrac{c}{\sqrt{a+b}}\geq \sqrt{\dfrac{3}{2}}$ เมื่อ $a+b+c=1$

[Siren-Of-Step]

ขอ ใจความอสมการ holder หน่อยครับ

[Keehlzver]

ข้อ $1$ $(a+b)(b+c)(c+a)\geq8abc$

Solution

$(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}})(\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt{\frac{c}{b}})(\sqrt{\frac{c}{a}}+\sqrt{\frac{a}{c}})\geq(\sqrt[3]{\sqrt{\frac{abc}{bca}}}+\sqrt[3]{\sqrt{\frac{bca}{abc}}})^3=2^3=8$ เเล้วจัดรูป

ข้อ $2$ $(a+b+c)^3\leq9(a^3+b^3+c^3)$

Solution

$(a^3+b^3+c^3)(1^3+1^3+1^3)(1^3+1^3+1^3)\geq(a\cdot1\cdot1+b\cdot1\cdot1+c\cdot1\cdot1)^3=(a+b+c)^3$

ข้อ $3$ $ab^2+bc^2+ca^2\leq a^3+b^3+c^3$

Solution

$(a^3+b^3+c^3)(b^3+c^3+a^3)(b^3+c^3+a^3)\geq(\sqrt[3]{a^3\cdot b^6}+\sqrt[3]{b^3\cdot c^6}+\sqrt[3]{c^3\cdot a^6})^3=(ab^2+bc^2+ca^2)^3$

ข้อ $4$ $a^2b+b^2c+c^2\leq a^3+b^3+c^3$

Solution

$(a^3+b^3+c^3)(a^3+c^3+a^3)(b^3+c^3+a^3)\geq(\sqrt[3]{a^6\cdot b^3}+\sqrt[3]{b^6\cdot c^3}+\sqrt[3]{c^6\cdot a^3})^3=(a^2b+b^2c+c^2a)^3$

ข้อ $5$ $3(a+b+c)\leq (a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

Solution1

อสมการสมมูลกับ $(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)\geq 3abc(a+b+c)$ มี lower bound $(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)\geq(ab+bc+ca)^2\geq3abc(a+b+c)$ อสมการเเรก $(a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+a^2)(ab+bc+ca)\geq(ab+bc+ca)^3$ โดย Holder อสมการหลังเป็นผลโดยตรงมาจากอสมการเเรก

Solution2

กระจายออกมาอสมการสมมูลกับ $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}\geq 2(a+b+c)$ ซึ่งเป็นจริงจากอสมการ Holder $(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})(b+c+a)(a+b+c)\geq(a+b+c)^3$ เเละ $(\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c})(a+b+c)(b+c+a)\geq(a+b+c)^3$

ข้อ $6$ $\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\geq a+b+c$

Solution

$(b+c+a)(b+c+a)(\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2})\geq(a+b+c)^3$

ข้อ $7$ $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq\frac{1}{3}(a+b+c)^2$

Solution

$(1+1+1)(b+c+a)(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a})\geq(a+b+c)^3$

ข้อ $8$ $(\frac{a}{2}+\frac{b}{3}+\frac{c}{6})^3\leq\frac{a^3}{2}+\frac{b^3}{3}+\frac{c^3}{6}$

Solution

$(\frac{a^3}{2}+\frac{b^3}{3}+\frac{c^3}{6})(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6})(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6})\geq(\sqrt[3]{\frac{a^3}{8}}+\sqrt[3]{\frac{b^3}{27}}+\sqrt[3]{\frac{c^3}{216}})^3=(\frac{a}{2}+\frac{b}{3}+\frac{c}{6})^3$

ข้อ $9$ $(a+b+c)^3\leq (a^3+2)(b^3+2)(c^3+2)$

Solution

$(a^3+1+1)(1+b^3+1)(1+1+c^3)\geq(\sqrt[3]{a^3\cdot1\cdot1}+\sqrt[3]{1 \cdot b^3 \cdot 1}+\sqrt[3]{1 \cdot1 \cdot c^3})^3=(a+b+c)^3$

ข้อ $10$ $\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geq\sqrt{\frac{3}{2}}$ เมื่อ $a+b+c=1$

Solution

Homogenize เป็น $(\sum\frac{a}{\sqrt{b+c}})^2\geq \frac{3}{2}(a+b+c)$ โดยอสมการ Holder $(\sum \frac{a}{\sqrt{b+c}})(\sum \frac{a}{\sqrt{b+c}})(\sum a(b+c))\geq (\sum a)^3\geq \frac{3}{2}(\sum a(b+c))(a+b+c)$ อสมการสุดท้ายสมมูลกับ $(a+b+c)^2\geq3(ab+bc+ca)$ ซึ่งเป็นจริงโดย Holder $(a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+a^2)(ab+bc+ca)\geq(ab+bc+ca)^3$

รบกวน check ความถูกต้องด้วยครับ สำหรับข้อ 5 ผมอยากรู้ว่ามีวิธีที่ไม่ต้องกระจายไหมครับคุณ Nooonuii เเบบใช้ต่อเดียวออกเลย ถ้าไม่เป็นการรบกวนจนเกินไปนะครับ ผมขอโจทย์อีกได้ไหมครับ

[nooonuii]

มีพิมพ์ผิดตรงข้อ $9$ ครับ

ข้อ $5$ ผมทำแบบนี้ครับ

$3(a+b+c)=9\Big(\dfrac{a+b+c}{3}\Big)$

$~~~~~~~~~~~~~~~\leq (a+b+c)\Big(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\Big)\Big(\dfrac{a+b+c}{3}\Big)$

$~~~~~~~~~~~~~~~= \Big(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\Big)\dfrac{(a+b+c)^2}{3}$

$~~~~~~~~~~~~~~~\leq \Big(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\Big)(a^2+b^2+c^2)$

[nooonuii]

$a, b, c>0$

11. $(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2+(c+\frac{1}{c})^2\geq\frac{100}{3}$ เมื่อ $a+b+c=1$

12. $(abc+1)^3\leq (a^3+1)(b^3+1)(c^3+1)$

13. จงหาค่าสูงสุดของ $\dfrac{abc}{(a+b+c)(a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)}$

14. $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\geq\dfrac{3}{2}$

15. $(a+b+c)\Big(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\Big)
\leq\Big(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\Big)
\Big(\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}\Big)$

[Keehlzver]

ในที่สุดก็ออกซะที ขอโจทย์อีกนะครับ

ข้อ $11$ $(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2+(c+\frac{1}{c})^2\geq\frac{100}{3}$

Solution1

จาก $a+b+c=1$ โดยอสมการ Holder จะได้ว่า $\sum(a+\frac{1}{a})^2\geq\frac{(\sum(a+\frac{1}{a}))^3}{3\sum(a+\frac{1}{a})}=\frac{(\sum a+\sum \frac{1}{a})^2}{3}\geq\frac{(a+b+c+\frac{9}{a+b+c})^2}{3}=\frac{100}{3}$

Solution2

เมื่อ $a+b+c=1$ กระจายออกมาจะได้ว่า $\sum a^2+\sum\frac{1}{a^2}+6\geq\frac{(a+b+c)^2}{3}+\frac{27}{(a+b+c)^2}+6=\frac{100}{3}$

ข้อ $12$ $(abc+1)^3\leq(a^3+1)(b^3+1)(c^3+1)$

Solution

โดยอสมการ Holder $(a^3+1)(b^3+1)(c^3+1)\geq (\sqrt[3]{a^3b^3c^3}+\sqrt[3]{1})=(abc+1)^3$

ข้อ $13$ จงหาค่าสูงสุดของ $\frac{abc}{(a+b+c)(a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)}$

Solution

โดยอสมการ Holder $(a+b+c)(b+a+1)(c+1+b)(1+c+a)\geq(\sqrt[4]{abc}+\sqrt[4]{bac}+\sqrt[4]{cba})=(3\sqrt[4]{abc})^4=81abc$ ดังนั้น $\frac{abc}{(a+b+c)(a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)}\leq\frac{1}{81}$ เกิดค่าสูงสุดเมื่อ $a=b=c=1$

ข้อ $14$ $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2}$

Solution

โดยอสมการ Holder $(\sum\frac{a}{b+c})\geq\frac{(a+b+c)^3}{(a+b+c)(a(b+c)+b(c+a)+c(a+b))}=\frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}\geq\frac{3(ab+bc+ca)}{2(ab +bc+ca)}=\frac{3}{2}$

ข้อ $15$ $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c})$

Solution

$(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b})\geq\frac{(a+b+c)^3}{abc+bca+cab}=\frac{(a+b+c)(a+b+c )^2}{3abc}\geq\frac{(a+b+c)3(ab+bc+ca)}{abc}=(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

ขอเรียกว่าพี่ก็เเล้วกันนะครับ ผมขอถามว่าในการทำโจทย์อสมกาีรสิ่งที่ต้องทำทุกครั้งคืออะไรครับ เพราะผมเห็นพี่ Nooonuii ทำโจทย์ของ Hojoo Lee กวาดไปหมดเลย ผมยังทำได้เเค่บางข้อ เเล้วเทคนิกที่พี่ใช้เเต่ละอย่างในการทำโจทย์เเต่ละข้อผมเห็นพี่พิจารณาวิธีพิสูจน์ได้สั้นเเละกระชับ ตรงประเด็นมาก เหมือนรู้ว่าข้อนั้นๆทำเเบบไหนถึงจะเหมาะ อีกอย่างคือโจทย์อสมการที่มีเงื่อนไขเช่น $a,b,c>-1$ หรือ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริง ผมก็ไม่รู้จะเริ่มตรงไหนดี พอจะมีอะไรเเนะนำไหมครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

ผมขอถามว่าในการทำโจทย์อสมกาีรสิ่งที่ต้องทำทุกครั้งคืออะไรครับ เพราะผมเห็นพี่ Nooonuii ทำโจทย์ของ Hojoo Lee กวาดไปหมดเลย ผมยังทำได้เเค่บางข้อ เเล้วเทคนิกที่พี่ใช้เเต่ละอย่างในการทำโจทย์เเต่ละข้อผมเห็นพี่พิจารณาวิธีพิสูจน์ได้สั้นเเละกระชับ ตรงประเด็นมาก เหมือนรู้ว่าข้อนั้นๆทำเเบบไหนถึงจะเหมาะ อีกอย่างคือโจทย์อสมการที่มีเงื่อนไขเช่น $a,b,c>-1$ หรือ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริง ผมก็ไม่รู้จะเริ่มตรงไหนดี พอจะมีอะไรเเนะนำไหมครับ

ทุกครั้งที่เห็นโจทย์จะนึกถึงเงื่อนไขที่ทำให้สมการเป็นจริงเป็นอันดับแรกครับ

เพราะถ้าอสมการไม่ homogeneous มันจะมีเงื่อนไขแฝงที่ทำให้เราต้องใช้อสมการกับตัวเลขด้วย

อีกอย่างที่มักจะทำบ่อยคือเปลี่ยนอสมการยุ่งๆโดยการสร้างตัวแปรใหม่ หรือบางทีถ้าอสมการไม่โหดมากก็กระจายออกมา

ที่เหลือก็คงเป็นประสบการณ์ในการทำโจทย์หลายๆแบบมั้งครับ ทำให้มองเห็นอะไรได้ง่ายขึ้น บางครั้งก็ต้องเดาใจคน

สร้างโจทย์ด้วยครับ ว่าเขาจะเอาลูกเล่นอะไรมาใช้บ้าง โจทย์ที่มีเงื่อนไขอย่างเช่น $a,b,c>-1$ ผมจะเปลี่ยนตัวแปร

เป็น $x=a+1,y=b+1,z=c+1$ แล้วพิสูจน์อสมการในตัวแปร $x,y,z>0$ แทน เพราะเราคุ้นเคยอสมการของ

จำนวนจริงบวกมากกว่า ถ้าตัวแปรเป็นจำนวนจริงก็ำพยายามดูว่าอสมการไหนบ้างที่ใช้ได้ในสถานการณ์นี้

บางครั้งก็ำพยายามพิสูจน์โดยผ่านทางค่าสัมบูรณ์ หรือไม่ก็กำลังที่เป็นคู่ของตัวแปร

[nooonuii]

โจทย์เริ่มจะหมดแล้วครับ เหลือแต่ยากๆ

$a,b,c>0$

16. $\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geq 1$

17. $\dfrac{1}{2}\leq\dfrac{\ln{(a^2+b^2+c^2)}}{\ln{(a^3+b^3+c^3)}}\leq\dfrac{2}{3}$ เมื่อ $a+b+c=1$

18. $\dfrac{a}{\sqrt{a+2b}}+\dfrac{b}{\sqrt{b+2c}}+\dfrac{c}{\sqrt{c+2a}}\geq 1$ เมื่อ $a+b+c=1$

[tatari/nightmare]

ข้อ 16 ค่อนข้างจะ well known อะนะ....
ขอข้อ 18 หละกัน
โดยอสมการ Holder
$(\sum_{cyc} a(a+2b))(\sum_{cyc} \dfrac{a}{\sqrt{a+2b}})^2\geq (\sum_{cyc} a)^3$
เลยได้
$LHS^2\geq \dfrac{(\sum_{cyc} a)^3}{(a+b+c)^2}=1$

[Keehlzver]

Cannot type Thai(New Window screwed me up)
$16$ $\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}$

Solution

$(\sum\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}})^2\geq\frac{(a+b+c)^3}{a^3+b^3+c^3+24abc}\geq1$ iff $(a+b+c)^3\geq a^3+b^3+c^3+24abc$ iff $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$ Obviously true.

And $17$ I don't know Log Please give me a hint

[nooonuii]

ข้อ 17 ถ้ากำจัด $\ln$ แล้วมันก็ไม่มีอะไรนี่ครับ

[Keehlzver]

พี่ Nooonuii ต้องใช้สมบัติ Log ข้อไหนเหรอครับ ผมทำได้ถึงเเค่ตรงนี้เอง

$\frac{1}{2}\leq \frac{log(a^2+b^2+c^)}{log(a^3+b^3+c^3)}\leq\frac{2}{3}$

ที่บอกว่ากำจัด Log กำจัดยังไงเหรอครับ ถ้ามีโจทย์อีกผมขอเอามาทำนะครับ อยากเก่งเเบบคนอื่นเขาบ้าง หรือเเนะนำชื่อหนังสือมาก็ได้ครับ ผมจะไปหามาอ่าน

[Switchgear]

ดูแล้วคุณ Keehlzver ท่าทางเก่งกาจไม่ใช่เล่น ... กำลังเข้าค่าย 2 หรือเตรียมตัวช่วงไหนอยู่ครับ ?

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

พี่ Nooonuii ต้องใช้สมบัติ Log ข้อไหนเหรอครับ ผมทำได้ถึงเเค่ตรงนี้เอง

$\frac{1}{2}\leq \frac{log(a^2+b^2+c^)}{log(a^3+b^3+c^3)}\leq\frac{2}{3}$

ที่บอกว่ากำจัด Log กำจัดยังไงเหรอครับ ถ้ามีโจทย์อีกผมขอเอามาทำนะครับ อยากเก่งเเบบคนอื่นเขาบ้าง หรือเเนะนำชื่อหนังสือมาก็ได้ครับ ผมจะไปหามาอ่าน

ถ้าได้แบบนี้ก็จบแล้วสิครับ เพราะ $\dfrac{\log{(a^2+b^2+c^2)}}{\log{(a^3+b^3+c^3)}}=\dfrac{\ln{(a^2+b^2+c^2)}}{\ln{(a^3+b^3+c^3)}}$