อนุกรมอนันต์

[ZoDiAcKNight]

จงหาผลบวกของอนุกรมอนันต์ (ถ้ามี)

$\frac{3}{1^2 \times 2^2}+ \frac{5}{2^2 \times 3^2}+\frac{7}{3^2 \times 4^2}+...+\frac{2n+1}{n^2 \times (n+1)^2}$

ขอบคุณมากครับผม

มึนมากๆ

[Keehlzver]

สังเกตว่า $(n+1)^2-n^2=2n+1$

ดังนั้น $\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}=\frac{(n+1)^2-n^2}{n^2(n+1)^2}=\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}$

เป็นอนุกรม telescopic ตอบ $1-\frac{1}{(n+1)^2}$
ถ้าเป็นอนุกรมอนันต์ก็ตอบ $1$ ครับ