ภาคตัดกรวย 1ข้อในข้อสอบ ที่เจอมา

[-InnoXenT-]

มีเส้นตรง ที่อยู่ห่างจากจุด $(1,-4)$ เป็นระยะทาง 4 หน่วย และเส้นตรงนั้นตั้งฉากกับ $3x-4y+1 = 0$ จงหาสมการเส้นตรงดังกล่าว

[Puriwatt]

(1) เราจะพบว่าจุดที่อยู่ห่างจากจุด (1,−4) เป็นระยะทาง 4 หน่วย นั้นจะอยู่บนวงกลม $(x-1)^2+(y+4)^2$ = $4^2$ ด้วย

(2) มีเส้นตรง 3x - 4y + a = 0 ที่ผ่านจุด (1,−4) จำนวน 1 เส้นที่ขนานกับเส้นตรง 3x − 4y + 1=0 ด้วย
แทนค่า x = 1, y = -4 ลงในสมการดังกล่าวได้ a = -19 ดังนั้นเส้นตรงนี้จะมีสมการ 3x - 4y - 19 = 0

แสดงว่าโจทย์ต้องการให้เราหาสมการเส้นตรง 4x + 3y + b = 0 ที่สัมผัสวงกลม $(x-1)^2+(y+4)^2$ = $4^2$ และจะตัดกับเส้นตรง 3x - 4y - 19 = 0 ที่จุดสัมผัสด้วยดังรูป

ที่เหลือทำเอาเองนะครับ

[gon]

สมการเส้นตรงที่ต้องการจะต้องอยู่ในรูป 4x+3y+c=0

ดังนั้น $\frac{ |4(1) + 3(-4) + c| }{\sqrt{4^2 + 3^2}} = 4$

นั่นคือ $| c - 8 | = 20$ แก้สมการ จะได้ c = ... หรือ c = ...

จึงได้สมการที่ต้องการคือ

[Puriwatt]

เยี่ยมเลยครับคุณgon ผมจำสูตรนี้ไม่ได้แล้ว(แต่คุ้นตามาก) ข้อนี้ตอนผมคิดเลยต้องใช้สามเหลี่ยมคล้ายของ 3,4,5
แต่ก็ไม่สามารถอธิบายเป็นภาคตัดกรวยได้ และในส่วนแนวคิดที่สามารถแสดงได้เลยวาดเป็นรูปไว้ให้ดูครับ

ผมลองค้นหาสูตรเกี่ยวกับระยะระหว่างจุดกับเส้นตรง จนพบในลิงค์นึ้ของคุณgon เลยเอามาให้ดูครับ