Comparison Test

[t.B.]

ให้ $\sum_{n = 1}^{\infty} a_n $ เป็นอนุกรมลู่เข้าของจำนวนที่ไม่เป็นลบ ถามว่า $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_n}{n} $ จะเป็นอย่างไร?

คือผมลองทำแบบนี้
กรณี $0\leqslant a_n <1 ; \frac{a_n}{n} < a_n จะได้ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_n}{n} $ ลู่เข้า

และถ้า $ a_n\geqslant 1 ; \frac{a_n}{n} \geqslant \frac{1}{n} จะได้ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_n}{n} $ ลู่ออก

เลยอยากทราบว่าทำถูกไหมครับ (เพราะว่าเฉลย บอกว่า $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_n}{n} $ ลู่เข้า อย่างเดียว)

[passer-by]

$ \frac{a_n}{n} \leq a_n$ ทุก n อยู่แล้วครับ (ไม่จำเป็นต้องแบ่งกรณีของ $a_n$)

[t.B.]

ผมงงตรงที่ ถ้าเทียบกับ $b_n = 1/n$ (ลู่ออก) โดย Comparison test เราจะได้ $a_n/n$ ก็ลู่ออกด้วยไม่ใช่หรอครับ ช่วยอธิบายทีครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ t.B.

ผมงงตรงที่ ถ้าเทียบกับ $b_n = 1/n$ (ลู่ออก) โดย Comparison test เราจะได้ $a_n/n$ ก็ลู่ออกด้วยไม่ใช่หรอครับ ช่วยอธิบายทีครับ

เนื่องจาก $\sum a_n$ ลู่เข้า จะได้ว่า $\lim a_n = 0$

ดังนั้น เมื่อ $n$ มีค่าเยอะๆ $a_n<1$ เสมอ

จึงทำให้ $a_n\geq 1$ สำหรับ $n$ แค่จำนวนจำกัดเท่านั้น

ซึ่งไม่ส่งผลกระทบต่อการลู่เข้าของอนุกรมครับ

ผมว่าทำแบบคุณ passer-by ง่ายที่สุดแล้วล่ะ